В крупном отделе компании 6 человек получают зарплату 75 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 90 тыс. р., 8 человек получают по 125 тыс. р, и 3 человека – по 140 тыс. р. Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 215 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей

Для решения задачи о распределении премии и нахождении медианы выплат, начнем с того, что определим текущие зарплаты сотрудников и количество работников с каждой зарплатой. ### Шаг 1: Запись зарплат - 6 человек по 75 тыс. р. - 10 человек по 90 тыс. р. - 8 человек по 125 тыс. р. - 3 человека по 140 тыс. р. Теперь сформируем список этих зарплат: - 75, 75, 75, 75, 75, 75 (6 раз) - 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90 (10 раз) - 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125 (8 раз) - 140, 140, 140 (3 раза) ### Шаг 2: Определение общего количества сотрудников Общее число сотрудников: \( 6 + 10 + 8 + 3 = 27 \) человек. ### Шаг 3: Определение положения медианы Когда количество данных (в данном случае зарплаты) нечетное, медиана — это число, которое находится на позиции: \[ \frac{27 + 1}{2} = 14 \] Таким образом, медиана будет 14-й по величине зарплатой. ### Шаг 4: Построение текущего списка зарплат Соберем весь список зарплат по возрастанию: 1. 6 сотрудников по 75 тыс. р. 2. 10 сотрудников по 90 тыс. р. 3. 8 сотрудников по 125 тыс. р. 4. 3 сотрудника по 140 тыс. р. Итак, открываем наш список: 1. 75 (1) 2. 75 (2) 3. 75 (3) 4. 75 (4) 5. 75 (5) 6. 75 (6) 7. 90 (7) 8. 90 (8) 9. 90 (9) 10. 90 (10) 11. 90 (11) 12. 90 (12) 13. 90 (13) 14. 90 (14) ← медиана 15. 125 (15) 16. 125 (16) 17. 125 (17) 18. 125 (18) 19. 125 (19) 20. 125 (20) 21. 125 (21) 22. 125 (22) 23. 140 (23) 24. 140 (24) 25. 140 (25) ### Шаг 5: Установка целевого положения медианы Чтобы увеличить медиану (14-я по величине) над текущими 90 тыс. р., необходимо сделать так, чтобы 14-й элемент стал больше 90. Для этого нужно увеличить зарплату некоторым сотрудникам, добавив премии. ### Шаг 6: Распределение премий Мы имеем 215 тыс. р. для распределения. Стратегия заключается в том, чтобы распределить премии так, чтобы хотя бы один работник из группы, где зарплата 90 тыс. р., повысил свою зарплату выше 90 тыс. р. 1. Если мы дадим 91 тыс. р. одному из сотрудников, то нужно распределить остальную сумму: \( 215 - 1 = 214 \) (т.е. 1 тыс. р. добавлено к 90 тыс. р.). Сотрудники теперь будут получать: - Возможно 9 человек по 90 тыс. р. и 1 по 91 тыс. р. Следуя логике, мы можем предложить следующую зарплату: - 6 человек по 75 тыс. р. - 9 человек по 90 тыс. р. - 1 человек по 91 тыс. р. - 8 человек по 125 тыс. р. - 3 человека по 140 тыс. р. На данный момент медиана уже превышает 90 тыс. р. ### Шаг 7: Поиск максимальной медианы Чтобы получить наивысшую медиану, можем выполнить распределение следующим образом: - Добавить небольшие суммы, чтобы получить больше работников с зарплатами в 125 тыс. р. Это можно сделать, добавляя премии к тем, кто уже находится на уровне 90 или 125. Распределим максимальным образом: - Сделаем 5 сотрудников с зарплатой 91 (будем продолжать добавлять до 91). Получили 5 человек, которые теперь имеют 91 тыс. р. Нам необходимо оставить достаточно сотрудников на зарплате 90 в общем количестве, чтобы медиана осталась на уровне 125. Важно помнить, что если 15 сотрудников с зарплатой 125, это даст 14-ю позицию. ### Вывод Для большего количества работников с 125 тыс. р. мы, следовательно, можем взять стоимости более низкой категории, чтобы заменить их на высокий порог. Таким образом, мы сможем сделать 14-ую позицию равной 125 с этими изменениями. В итоге, наибольшая возможная медиана будет **125 тыс. р.**.