tg^2(75)

Чтобы решить задачу \( \tan^2(75^\circ) \), давайте сначала воспользуемся тригонометрическими свойствами.

Шаг 1: Используем формулу для тангенса суммы углов

Мы можем разложить \( 75^\circ \) как \( 45^\circ + 30^\circ \). Используем формулу для тангенса суммы углов:

\[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \]

В нашем случае \( a = 45^\circ \) и \( b = 30^\circ \).

Шаг 2: Находим значения тангенсов

Знаем, что:

\[ \tan(45^\circ) = 1 \quad \text{и} \quad \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \tan(75^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

Шаг 4: Упрощаем выражение

Сначала упрощаем числитель:

\[ 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \]

Теперь упрощаем знаменатель:

\[ 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \]

Подставим это обратно в наше выражение для тангенса:

\[ \tan(75^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]

Шаг 5: Найдем квадрат тангенса

Теперь, чтобы найти \( \tan^2(75^\circ) \), возьмем квадрат найденного значения:

\[ \tan^2(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)^2 \]

Шаг 6: Упрощение

Теперь возведем в квадрат числитель и знаменатель:

\[ \tan^2(75^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)^2} \]

Считаем:

\[ (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \]

\[ (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \]

Шаг 7: Заключительное выражение

Таким образом, окончательно:

\[ \tan^2(75^\circ) = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} \]

Ответ.

Эта формула представляет собой значение \( \tan^2(75^\circ) \). Вы можете оставить результат в этом виде или упростить дальше, если это нужно, например, используя рацио.