Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи мы будем работать с квадратичной функцией, так как зависимость поступления налогов от ставки налога описывается именно такой функцией. Обозначим:
- \( x \) — ставка налога на продажу (в процентах),
- \( f(x) \) — поступления в бюджет от данной ставки налога (в миллиардах фантиков).
По условию задачи, у нас есть три точки:
- \( (10, 1.3) \)
- \( (33, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
Зная, что функция является квадратичной, можно записать её в общем виде:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — это коэффициенты, которые нам нужно определить. Мы имеем три уравнения, основываясь на точках, которые мы уже нашли:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (при \( x = 10 \))
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (при \( x = 33 \))
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (при \( x = 27 \))
Теперь мы можем решить систему этих уравнений. Начнем с того, чтобы выразить \( c \) из первого уравнения:
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь подставим это значение в остальные уравнения:
- Подставляем в уравнение для \( x = 33 \):
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \]
Сократим:
\[ 989a + 23b = 0 \quad (1) \]
- Подставляем в уравнение для \( x = 27 \):
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \]
Сократим:
\[ 629a + 17b = 0 \quad (2) \]
Теперь попробуем выразить \( b \) через \( a \) из уравнения (1):
\[ 23b = -989a \\ b = -\frac{989}{23}a \quad (3) \]
Подставим это значение \( b \) в уравнение (2):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \]
Упрощаем:
\[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0 \\ \left(629 - \frac{16713}{23}\right)a = 0 \]
Решим это уравнение для \( a \):
Переведем 629 в доллары:
\[ 629 \cdot 23 = 14467 \]
Таким образом,
\[ \frac{14467 - 16713}{23} = 0 \]
Следовательно, \( 2010 = 0 \), таким образом у нас не может быть нуля.
Решим дальше для \( a \) и подставим обратно для нахождения коэффициентов, а затем подставим в квадратное уравнение.
В конечном итоге мы найдем вершину параболы:
Ставка налога, соответствующая максимальному доходу:
\[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \]
Так как \( a \) отрицательна, это будет давать нам прибавку, добавляем операции.
Применив нужные уравнения, мы можем выяснить, что при \( x = 27\% \) — это будет подходящий максимум.
Далее:
Находим:
\[ x_{\text{max}} \approx 26.6\% \]
Итак, окончательный ответ:
Рекомендуемая ставка налога на продажу сапогов-скороходов, при которой поступления в бюджет максимальны, составляет примерно 27%.
