Реши

Чтобы решить тригонометрические уравнения, нужно понимать, как работают функции аркосинуса, арксинуса и арктангенса. Давайте разберем каждую часть подробно:

a) \( \text{arcctg} \, 0 + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - \text{arcctg} \, 1 + \arcsin \frac{1}{2} \)

1. \(\text{arcctg} \, 0\):

   • Арккотангенс равен \(\frac{\pi}{2}\), когда аргумент равен 0.

2. \(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\):

   • \(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}\), поскольку \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. \(\text{arcctg} \, 1\):

   • Арккотангенс 1 равен \(\frac{\pi}{4}\).

4. \(\arcsin \frac{1}{2}\):

   • \(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\), так как \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).

Теперь подставим значения и вычислим результат: \[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \]

б) \( \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \text{arcctg} \sqrt{3} \)

1. \(\arccos \frac{1}{2}\):

   • \(\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}\), так как \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\).

2. \(\arcsin \frac{1}{2}\):

   • \(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\).

3. **\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) напрямую не имеет тригонометрического эквивалента, но можно дополнительно рассмотреть простые тригонометрические функции, если потребуется.

4. \(\text{arcctg} \sqrt{3}\):

   • Арккотангенс \(\sqrt{3}\) равен \(\frac{\pi}{6}\).

Теперь посчитаем: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \]

в) \( \text{arctg} (\sqrt{3}) - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \)

1. \(\text{arctg} (\sqrt{3})\):

   • \(\text{arctg} (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\), по определению обратной функции.

2. \(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\):

   • \(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}\).

3. \(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\):

   • \(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\), так как \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\).

Теперь сложим: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} - \frac{8\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} \]

г) \( \arcsin (-1) - \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \text{arctg} (-1) \)

1. \(\arcsin (-1)\):

   • \(\arcsin (-1) = -\frac{\pi}{2}\).

2. \(\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\):

   • \(\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}\).

3. \(\text{arctg} (-1)\):

   • \(\text{arctg} (-1) = -\frac{\pi}{4}\).

Подсчитаем: \[ -\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{6\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{18\pi}{12} = -\frac{3\pi}{2} \]

Если что-то станет непонятно, с удовольствием помогу объяснить более подробно!