3/x + 2/x-1=2
Чтобы решить уравнение \( \frac{3}{x} + \frac{2}{x-1} = 2 \), начнем с поиска общего знаменателя для дробей.
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
У нас есть дроби \( \frac{3}{x} \) и \( \frac{2}{x-1} \). Их общий знаменатель — это произведение \( x(x-1) \).
Шаг 2: Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель
Умножим каждую часть уравнения на \( x(x-1) \):
\[ x(x-1) \cdot \frac{3}{x} + x(x-1) \cdot \frac{2}{x-1} = 2 \cdot x(x-1) \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Упрощаем каждую дробь:
- Для первой дроби:
\[ x(x-1) \cdot \frac{3}{x} = 3(x-1) = 3x - 3 \]
- Для второй дроби:
\[ x(x-1) \cdot \frac{2}{x-1} = 2x \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 3x - 3 + 2x = 2(x^2 - x) \]
Шаг 4: Перепишем уравнение
Соберем все члены на одной стороне:
\[ 3x - 3 + 2x - 2x^2 + 2x = 0 \]
Упрощаем:
\[ 7x - 3 - 2x^2 = 0 \]
Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь перепишем уравнение:
\[ -2x^2 + 7x - 3 = 0 \]
Домножим на -1, чтобы привести к стандартному виду:
\[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \]
Шаг 6: Найдем корни уравнения
Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 2 \), \( b = -7 \), \( c = 3 \).
Шаг 7: Подсчитаем дискриминант
Посчитаем дискриминант (\( D \)):
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]
Шаг 8: Найдем корни
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4} \]
Это даст нам два решения:
- \( x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
Шаг 9: Проверим корни
Теперь необходимо проверить найденные значения, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Значения \( x = 3 \) и \( x = \frac{1}{2} \) не приводят к такому делению, так как:
- Для \( x = 3 \): \( x-1 = 2 \) (не 0)
- Для \( x = \frac{1}{2} \): \( x-1 = -\frac{1}{2} \) (не 0)
Ответ
Таким образом, решением уравнения являются \( x = 3 \) и \( x = \frac{1}{2} \).
