3/x + 2/x-1=2

Чтобы решить уравнение \( \frac{3}{x} + \frac{2}{x-1} = 2 \), начнем с поиска общего знаменателя для дробей. ### Шаг 1: Найдем общий знаменатель У нас есть дроби \( \frac{3}{x} \) и \( \frac{2}{x-1} \). Их общий знаменатель — это произведение \( x(x-1) \). ### Шаг 2: Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель Умножим каждую часть уравнения на \( x(x-1) \): \[ x(x-1) \cdot \frac{3}{x} + x(x-1) \cdot \frac{2}{x-1} = 2 \cdot x(x-1) \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Упрощаем каждую дробь: - Для первой дроби: \[ x(x-1) \cdot \frac{3}{x} = 3(x-1) = 3x - 3 \] - Для второй дроби: \[ x(x-1) \cdot \frac{2}{x-1} = 2x \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 3x - 3 + 2x = 2(x^2 - x) \] ### Шаг 4: Перепишем уравнение Соберем все члены на одной стороне: \[ 3x - 3 + 2x - 2x^2 + 2x = 0 \] Упрощаем: \[ 7x - 3 - 2x^2 = 0 \] ### Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду Теперь перепишем уравнение: \[ -2x^2 + 7x - 3 = 0 \] Домножим на -1, чтобы привести к стандартному виду: \[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \] ### Шаг 6: Найдем корни уравнения Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 2 \), \( b = -7 \), \( c = 3 \). ### Шаг 7: Подсчитаем дискриминант Посчитаем дискриминант (\( D \)): \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \] ### Шаг 8: Найдем корни Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4} \] Это даст нам два решения: 1. \( x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \) 2. \( x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) ### Шаг 9: Проверим корни Теперь необходимо проверить найденные значения, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Значения \( x = 3 \) и \( x = \frac{1}{2} \) не приводят к такому делению, так как: - Для \( x = 3 \): \( x-1 = 2 \) (не 0) - Для \( x = \frac{1}{2} \): \( x-1 = -\frac{1}{2} \) (не 0) ### Ответ Таким образом, решением уравнения являются \( x = 3 \) и \( x = \frac{1}{2} \).