один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 сантиметров. Определи длину меньшего катета.
Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть острый угол прямоугольного треугольника, равный 60 градусов. Дополним эту информацию.
Определение сторон треугольника: В прямоугольном треугольнике с одним из острых углов равным 60 градусов можно обозначить:
- меньший катет — это катет, противолежащий углу 60 градусов, будем обозначать его как \( a \).
- больший катет — это катет, прилежащий к углу 60 градусов, будем обозначать его как \( b \).
- гипотенуза — это сторона напротив прямого угла, будем обозначать её как \( c \).
По свойствам прямоугольного треугольника с углом 60° известно, что: \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \]
Условие задачи: Сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 см: \[ a + c = 45 \]
Подставляем выражение для \( a \): Подставляем \( a \) из первой формулы в уравнение: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 45 \]
Объединим части: Это уравнение можно упростить: \[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 45 \]
Введем общий знаменатель: Приведем \( 1 \) к общему знаменателю: \[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} \right) = 45 \] \[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \right) = 45 \]
Решаем для \( c \): Чтобы найти \( c \), умножим обе стороны уравнения на \( \frac{2}{\sqrt{3} + 2} \): \[ c = \frac{45 \cdot 2}{\sqrt{3} + 2} \] \[ c = \frac{90}{\sqrt{3} + 2} \]
Теперь найдём \( a \): После того, как нашли \( c \), подставим его обратно, чтобы найти \( a \): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{90}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \]
Таким образом, длина меньшего катета \( a \) равна \( \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \). Чтобы получить численное значение, можем приблизить \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ a \approx \frac{45 \cdot 1.732}{1.732 + 2} \approx \frac{77.04}{3.732} \approx 20.65 \text{ см.} \]
Итак, длина меньшего катета составляет приблизительно 20.65 см.
