Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 сантиметров. Определи длину меньшего катета.

Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть острый угол прямоугольного треугольника, равный 60 градусов. Дополним эту информацию. 1. **Определение сторон треугольника:** В прямоугольном треугольнике с одним из острых углов равным 60 градусов можно обозначить: - меньший катет — это катет, противолежащий углу 60 градусов, будем обозначать его как \( a \). - больший катет — это катет, прилежащий к углу 60 градусов, будем обозначать его как \( b \). - гипотенуза — это сторона напротив прямого угла, будем обозначать её как \( c \). По свойствам прямоугольного треугольника с углом 60° известно, что: \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \] 2. **Условие задачи:** Сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 см: \[ a + c = 45 \] 3. **Подставляем выражение для \( a \):** Подставляем \( a \) из первой формулы в уравнение: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 45 \] 4. **Объединим части:** Это уравнение можно упростить: \[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 45 \] 5. **Введем общий знаменатель:** Приведем \( 1 \) к общему знаменателю: \[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} \right) = 45 \] \[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \right) = 45 \] 6. **Решаем для \( c \):** Чтобы найти \( c \), умножим обе стороны уравнения на \( \frac{2}{\sqrt{3} + 2} \): \[ c = \frac{45 \cdot 2}{\sqrt{3} + 2} \] \[ c = \frac{90}{\sqrt{3} + 2} \] 7. **Теперь найдём \( a \):** После того, как нашли \( c \), подставим его обратно, чтобы найти \( a \): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{90}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \] Таким образом, длина меньшего катета \( a \) равна \( \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \). Чтобы получить численное значение, можем приблизить \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ a \approx \frac{45 \cdot 1.732}{1.732 + 2} \approx \frac{77.04}{3.732} \approx 20.65 \text{ см.} \] Итак, длина меньшего катета составляет приблизительно 20.65 см.