Формулы сокращенного умножения
Давайте разберём задачи одну за другой.
1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
Произведение:
\[ a - 6 \] \[ (a + 6) + (a + 6)^2 + 10a \]
Раскроем скобки и приведём подобные:
- \((a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36\)
Теперь сложим:
\[ a - 6 + a + 6 + a^2 + 12a + 36 + 10a \]
Сводим подобные члены:
\[ a + a + 12a + 10a + a^2 + 36 - 6 = a^2 + 24a + 30 \]
Ответ: \( a^2 + 24a + 30 \)
2. Разложите выражения на множители:
- \( 3xy - 9x + 4y - 12 \)
Группируем:
\[ 3xy - 9x + 4y - 12 = 3x(y - 3) + 4(y - 3) \]
Общий множитель: \((y - 3)\)
Ответ: \((3x + 4)(y - 3)\)
- \(4a^2 + 8ab + 4b^2\)
Имеем полное квадратное выражение:
\[ 4a^2 + 8ab + 4b^2 = (2a + 2b)^2 \]
Ответ: \((2a + 2b)^2\)
3. Используя формулы сокращенного умножения, докажите тождество:
\[ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab \]
Используем формулы:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Выражение:
\[ (a + b)^2 - (a - b)^2 = [a^2 + 2ab + b^2] - [a^2 - 2ab + b^2] \]
Сокращаем:
\[ a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab \]
Получаем: \(4ab\)
4. Найдите корни уравнения:
\[ (5x - 8)^2 = 49 \]
Решим уравнение:
\[ 5x - 8 = 7 \quad \text{или} \quad 5x - 8 = -7 \]
\( 5x - 8 = 7 \)
\[ 5x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
\( 5x - 8 = -7 \)
\[ 5x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{5} \]
Ответ: \( x = 3 \) или \( x = \frac{1}{5} \)
5. Можно ли утверждать, что для любых значений \( x \) выражение \( x^2 - 16x + 80 \) принимает положительные значения?
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 256 - 320 = -64 \]
Так как \( D < 0 \), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Ветви параболы направлены вверх (\(a = 1 > 0\)), что значит, парабола полностью находится выше оси \( x \), и выражение всегда положительно.
Ответ: Да, всегда положительные значения.
