Формулы сокращенного умножения

Давайте разберём задачи одну за другой. ### 1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: Произведение: \[ a - 6 \] \[ (a + 6) + (a + 6)^2 + 10a \] Раскроем скобки и приведём подобные: 1. \((a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36\) Теперь сложим: \[ a - 6 + a + 6 + a^2 + 12a + 36 + 10a \] Сводим подобные члены: \[ a + a + 12a + 10a + a^2 + 36 - 6 = a^2 + 24a + 30 \] Ответ: \( a^2 + 24a + 30 \) ### 2. Разложите выражения на множители: 1. \( 3xy - 9x + 4y - 12 \) Группируем: \[ 3xy - 9x + 4y - 12 = 3x(y - 3) + 4(y - 3) \] Общий множитель: \((y - 3)\) Ответ: \((3x + 4)(y - 3)\) 2. \(4a^2 + 8ab + 4b^2\) Имеем полное квадратное выражение: \[ 4a^2 + 8ab + 4b^2 = (2a + 2b)^2 \] Ответ: \((2a + 2b)^2\) ### 3. Используя формулы сокращенного умножения, докажите тождество: \[ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab \] Используем формулы: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Выражение: \[ (a + b)^2 - (a - b)^2 = [a^2 + 2ab + b^2] - [a^2 - 2ab + b^2] \] Сокращаем: \[ a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab \] Получаем: \(4ab\) ### 4. Найдите корни уравнения: \[ (5x - 8)^2 = 49 \] Решим уравнение: \[ 5x - 8 = 7 \quad \text{или} \quad 5x - 8 = -7 \] 1. \( 5x - 8 = 7 \) \[ 5x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] 2. \( 5x - 8 = -7 \) \[ 5x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{5} \] Ответ: \( x = 3 \) или \( x = \frac{1}{5} \) ### 5. Можно ли утверждать, что для любых значений \( x \) выражение \( x^2 - 16x + 80 \) принимает положительные значения? Найдем дискриминант квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 256 - 320 = -64 \] Так как \( D < 0 \), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Ветви параболы направлены вверх (\(a = 1 > 0\)), что значит, парабола полностью находится выше оси \( x \), и выражение всегда положительно. Ответ: Да, всегда положительные значения.