Из вершины B B квадрата A B C D ABCD восстановлен перпендикуляр S B SB к плоскости квадрата. Найди тангенс угла между плоскостями ( S D C ) (SDC) и ( A B C ) (ABC) , если 2 S B =…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Дано:

• У нас есть квадрат ABCD с вершинами A, B, C и D.
• Из вершины B восстановлен перпендикуляр по линии SB, который уходит в пространство и заканчивается в точке S.
• Параметры: \(2SB = BD = 6\), что означает:
  • \(BD = 6\)
  • Чтобы найти \(SB\), делим \(BD\) на 2: \(SB = \frac{6}{2} = 3\).

Задача:

Нам нужно найти тангенс угла между плоскостями \( (SDC) \) и \( (ABC) \).

Шаг 1: Определение координат точек

Пусть координаты точек будут следующими:

• A (0, 0, 0)
• B (0, 6, 0)
• C (6, 6, 0)
• D (6, 0, 0)
• S (0, 6, 3) (так как SB=3).

Шаг 2: Нахождение векторов плоскостей

1. Векторы в плоскости \( (ABC) \):

   • Вектор \( \vec{AB} = B - A = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0) \).
   • Вектор \( \vec{AC} = C - A = (6, 6, 0) - (0, 0, 0) = (6, 6, 0) \).

2. Векторное произведение для плоскости \( (ABC) \):

   • \( \vec{n_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC} \)
   • \( \vec{n_{ABC}} = (0, 6, 0) \times (6, 6, 0) \)
   • Это дает нам нормальный вектор к плоскости \( (ABC) \):
   • \( \vec{n_{ABC}} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 6, 0 \cdot 6 - 6 \cdot 0, 6 \cdot 6 - 0 \cdot 6) = (0, 0, 36) = (0, 0, 1) \).

3. Теперь для плоскости \( (SDC) \):

   • Вектор \( \vec{SD} = D - S = (6, 0, 0) - (0, 6, 3) = (6, -6, -3) \).
   • Вектор \( \vec{SC} = C - S = (6, 6, 0) - (0, 6, 3) = (6, 0, -3) \).

4. Векторное произведение для плоскости \( (SDC) \):

   • \( \vec{n_{SDC}} = \vec{SD} \times \vec{SC} \)
   • Используя векторы:
   • \( \vec{n_{SDC}} = (6, -6, -3) \times (6, 0, -3) \)
   • Вычисляем:
   • \( = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & -6 & -3 \\ 6 & 0 & -3 \end{array} \right| = \hat{i}((-6)(-3) - (0)(-3)) - \hat{j}((6)(-3) - (6)(-3)) + \hat{k}((6)(0) - (-6)(6)) \)
   • = \( 18\hat{i} + 0\hat{j} + 36\hat{k} = (18, 0, 36) \).

Шаг 3: Нахождение угла между плоскостями

Теперь можно найти угол между нормальными векторами \( \vec{n_{SDC}} \) и \( \vec{n_{ABC}} \).

Формула для нахождения косинуса угла между векторами:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{n_{SDC}} \cdot \vec{n_{ABC}}}{|\vec{n_{SDC}}| \cdot |\vec{n_{ABC}}|} \]

Где:

• \( \vec{n_{SDC}} = (18, 0, 36) \)
• \( \vec{n_{ABC}} = (0, 0, 1) \)

1. Скалярное произведение:
   \[ \vec{n_{SDC}} \cdot \vec{n_{ABC}} = 18 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 36 \cdot 1 = 36 \]

2. Нормы векторов:

   • \( |\vec{n_{SDC}}| = \sqrt{18^2 + 0^2 + 36^2} = \sqrt{324 + 1296} = \sqrt{1620} = 18\sqrt{5} \)
   • \( |\vec{n_{ABC}}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)

3. Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{36}{18\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

4. Теперь найдем тангенс: \[ \tan \theta = \sqrt{\frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{4}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Ответ:

Тангенс угла между плоскостями \( (SDC) \) и \( (ABC) \) равен \( \frac{1}{2} \).