Из вершины  B B квадрата  A B C D ABCD восстановлен перпендикуляр  S B SB к плоскости квадрата. Найди тангенс угла между плоскостями  ( S D C ) (SDC) и  ( A B C ) (ABC), если  2 S B = B D = 6 2SB=BD=6.

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. ### Дано: - У нас есть квадрат ABCD с вершинами A, B, C и D. - Из вершины B восстановлен перпендикуляр по линии SB, который уходит в пространство и заканчивается в точке S. - Параметры: \(2SB = BD = 6\), что означает: - \(BD = 6\) - Чтобы найти \(SB\), делим \(BD\) на 2: \(SB = \frac{6}{2} = 3\). ### Задача: Нам нужно найти тангенс угла между плоскостями \( (SDC) \) и \( (ABC) \). ### Шаг 1: Определение координат точек Пусть координаты точек будут следующими: - A (0, 0, 0) - B (0, 6, 0) - C (6, 6, 0) - D (6, 0, 0) - S (0, 6, 3) (так как SB=3). ### Шаг 2: Нахождение векторов плоскостей 1. **Векторы в плоскости \( (ABC) \)**: - Вектор \( \vec{AB} = B - A = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0) \). - Вектор \( \vec{AC} = C - A = (6, 6, 0) - (0, 0, 0) = (6, 6, 0) \). 2. **Векторное произведение для плоскости \( (ABC) \)**: - \( \vec{n_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC} \) - \( \vec{n_{ABC}} = (0, 6, 0) \times (6, 6, 0) \) - Это дает нам нормальный вектор к плоскости \( (ABC) \): - \( \vec{n_{ABC}} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 6, 0 \cdot 6 - 6 \cdot 0, 6 \cdot 6 - 0 \cdot 6) = (0, 0, 36) = (0, 0, 1) \). 3. **Теперь для плоскости \( (SDC) \)**: - Вектор \( \vec{SD} = D - S = (6, 0, 0) - (0, 6, 3) = (6, -6, -3) \). - Вектор \( \vec{SC} = C - S = (6, 6, 0) - (0, 6, 3) = (6, 0, -3) \). 4. **Векторное произведение для плоскости \( (SDC) \)**: - \( \vec{n_{SDC}} = \vec{SD} \times \vec{SC} \) - Используя векторы: - \( \vec{n_{SDC}} = (6, -6, -3) \times (6, 0, -3) \) - Вычисляем: - \( = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & -6 & -3 \\ 6 & 0 & -3 \end{array} \right| = \hat{i}((-6)(-3) - (0)(-3)) - \hat{j}((6)(-3) - (6)(-3)) + \hat{k}((6)(0) - (-6)(6)) \) - = \( 18\hat{i} + 0\hat{j} + 36\hat{k} = (18, 0, 36) \). ### Шаг 3: Нахождение угла между плоскостями Теперь можно найти угол между нормальными векторами \( \vec{n_{SDC}} \) и \( \vec{n_{ABC}} \). Формула для нахождения косинуса угла между векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_{SDC}} \cdot \vec{n_{ABC}}}{|\vec{n_{SDC}}| \cdot |\vec{n_{ABC}}|} \] Где: - \( \vec{n_{SDC}} = (18, 0, 36) \) - \( \vec{n_{ABC}} = (0, 0, 1) \) 1. **Скалярное произведение**: \[ \vec{n_{SDC}} \cdot \vec{n_{ABC}} = 18 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 36 \cdot 1 = 36 \] 2. **Нормы векторов**: - \( |\vec{n_{SDC}}| = \sqrt{18^2 + 0^2 + 36^2} = \sqrt{324 + 1296} = \sqrt{1620} = 18\sqrt{5} \) - \( |\vec{n_{ABC}}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \) 3. **Подставляем в формулу**: \[ \cos \theta = \frac{36}{18\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] 4. **Теперь найдем тангенс**: \[ \tan \theta = \sqrt{\frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{4}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] ### Ответ: Тангенс угла между плоскостями \( (SDC) \) и \( (ABC) \) равен \( \frac{1}{2} \).