**\( tg x - 2 \, ctg x + 1 = 0 \)**
Давайте разберем уравнение \( tg x - 2 \, ctg x + 1 = 0 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Вспомним определения
- \( tg x \) (тангенс) определяется как \( tg x = \frac{sin x}{cos x} \).
- \( ctg x \) (котангенс) определяется как \( ctg x = \frac{cos x}{sin x} \).
Таким образом, у нас есть:
- \( tg x = \frac{sin x}{cos x} \)
- \( ctg x = \frac{cos x}{sin x} \)
Шаг 2: Подставим в уравнение
Теперь мы можем заменить \( ctg x \) в нашем уравнении:
\[ tg x - 2 \cdot ctg x + 1 = 0 \]
Подставим определения:
\[ \frac{sin x}{cos x} - 2 \cdot \frac{cos x}{sin x} + 1 = 0 \]
Шаг 3: Приведем к общему знаменателю
Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на \( sin x \cdot cos x \) (при условии, что \( sin x \) и \( cos x \) не равны нулю):
\[ sin^2 x - 2cos^2 x + sin x \cdot cos x = 0 \]
Шаг 4: Используем тригонометрические тождества
Здесь мы можем использовать тождество \( sin^2 x + cos^2 x = 1 \), чтобы заменить \( cos^2 x \):
\[ sin^2 x - 2(1 - sin^2 x) + sin x \cdot cos x = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ sin^2 x - 2 + 2sin^2 x + sin x \cdot cos x = 0 \]
Шаг 5: Упростим уравнение
Приведем подобные:
\[ 3sin^2 x + sin x \cdot cos x - 2 = 0 \]
Шаг 6: Замена переменной
Можно сделать замену переменной: \( y = sin x \). Тогда \( cos^2 x = 1 - y^2 \), и уравнение можно записать как:
\[ 3y^2 + y \cdot \sqrt{1 - y^2} - 2 = 0 \]
Шаг 7: Решим уравнение
Решить это уравнение можно численно или с помощью графиков, но давайте используем другой способ. Поскольку у нас стоит котангенс, мы можем выразить \( ctg x \) через тангенс:
\[ ctg x = \frac{1}{tg x} \]
Таким образом, подставление может привести к более простым уравнениям, но в данном случае мы уже имеем:
\[ tg^2 x - 2 + 1 = 0 \]
Шаг 8: Получим стандартное уравнение
Теперь давайте выразим \( tg^2 x \):
\[ tg^2 x - 2 = -1 \]
Или:
\[ tg^2 x = 1 \]
Теперь мы можем найти значение тангенса:
Шаг 9: Находим тангенс
Из решения \( tg^2 x = 1 \) следует:
\[ tg x = 1 \quad \text{или} \quad tg x = -1 \]
Шаг 10: Решение уравнения
Получаем:
- Если \( tg x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), где \( k \) — целое число.
- Если \( tg x = -1 \), то \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \), где \( k \) — целое число.
Таким образом, общее решение уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Заключение
Это уравнение имеет множество решений, поскольку тангенс периодическая функция. Надеюсь, теперь стало понятнее! Если есть вопросы или что-то осталось неясным, спрашивайте!
