**\( tg x - 2 \, ctg x + 1 = 0 \)**

Давайте разберем уравнение \( tg x - 2 \, ctg x + 1 = 0 \) шаг за шагом. ### Шаг 1: Вспомним определения - **\( tg x \)** (тангенс) определяется как \( tg x = \frac{sin x}{cos x} \). - **\( ctg x \)** (котангенс) определяется как \( ctg x = \frac{cos x}{sin x} \). Таким образом, у нас есть: - \( tg x = \frac{sin x}{cos x} \) - \( ctg x = \frac{cos x}{sin x} \) ### Шаг 2: Подставим в уравнение Теперь мы можем заменить \( ctg x \) в нашем уравнении: \[ tg x - 2 \cdot ctg x + 1 = 0 \] Подставим определения: \[ \frac{sin x}{cos x} - 2 \cdot \frac{cos x}{sin x} + 1 = 0 \] ### Шаг 3: Приведем к общему знаменателю Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на \( sin x \cdot cos x \) (при условии, что \( sin x \) и \( cos x \) не равны нулю): \[ sin^2 x - 2cos^2 x + sin x \cdot cos x = 0 \] ### Шаг 4: Используем тригонометрические тождества Здесь мы можем использовать тождество \( sin^2 x + cos^2 x = 1 \), чтобы заменить \( cos^2 x \): \[ sin^2 x - 2(1 - sin^2 x) + sin x \cdot cos x = 0 \] Раскроем скобки: \[ sin^2 x - 2 + 2sin^2 x + sin x \cdot cos x = 0 \] ### Шаг 5: Упростим уравнение Приведем подобные: \[ 3sin^2 x + sin x \cdot cos x - 2 = 0 \] ### Шаг 6: Замена переменной Можно сделать замену переменной: \( y = sin x \). Тогда \( cos^2 x = 1 - y^2 \), и уравнение можно записать как: \[ 3y^2 + y \cdot \sqrt{1 - y^2} - 2 = 0 \] ### Шаг 7: Решим уравнение Решить это уравнение можно численно или с помощью графиков, но давайте используем другой способ. Поскольку у нас стоит котангенс, мы можем выразить \( ctg x \) через тангенс: \[ ctg x = \frac{1}{tg x} \] Таким образом, подставление может привести к более простым уравнениям, но в данном случае мы уже имеем: \[ tg^2 x - 2 + 1 = 0 \] ### Шаг 8: Получим стандартное уравнение Теперь давайте выразим \( tg^2 x \): \[ tg^2 x - 2 = -1 \] Или: \[ tg^2 x = 1 \] Теперь мы можем найти значение тангенса: ### Шаг 9: Находим тангенс Из решения \( tg^2 x = 1 \) следует: \[ tg x = 1 \quad \text{или} \quad tg x = -1 \] ### Шаг 10: Решение уравнения Получаем: 1. Если \( tg x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), где \( k \) — целое число. 2. Если \( tg x = -1 \), то \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \), где \( k \) — целое число. Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] ### Заключение Это уравнение имеет множество решений, поскольку тангенс периодическая функция. Надеюсь, теперь стало понятнее! Если есть вопросы или что-то осталось неясным, спрашивайте!