10.6. Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функции 2) y = x2, y = 0, x = 2;

Давайте разберем задачу по шагам и найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2\), \(y = 0\) (ось X) и вертикальной линией \(x = 2\). ### Шаг 1: Определение кривых 1. **График \(y = x^2\)** – это парабола, открытая вверх, которая проходит через точку (0,0). 2. **График \(y = 0\)** – это просто горизонтальная ось X. 3. **Линия \(x = 2\)** – это вертикальная линия, которая пересекает ось X в точке (2,0). ### Шаг 2: Найти точки пересечения Область, ограниченная этими графиками, будет находиться между осью X и параболой от \(x = 0\) до \(x = 2\). Точки пересечения графиков \(y = x^2\) и \(y = 0\) - это \(x = 0\) и \(x = 2\). ### Шаг 3: Определение области интегрирования Площадь фигур можно найти с помощью интеграла. Поскольку функция \(y = x^2\) находится выше оси X в интервале от \(x = 0\) до \(x = 2\), площадь \(A\) будет вычисляться интегрированием: \[ A = \int_{0}^{2} (x^2 - 0) \, dx \] ### Шаг 4: Вычисление интеграла Теперь нам нужно вычислить этот интеграл: \[ A = \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] Для вычисления интеграла \(x^2\) применяем формулу интегрирования: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Для \(n=2\): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \] Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до 2: \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] ### Шаг 5: Результат Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками \(y = x^2\), \(y = 0\) и \(x = 2\), равна: \[ \boxed{\frac{8}{3}} \] Эта площадь – это часть области, находящейся под графиком функции \(y = x^2\) между \(x = 0\) и \(x = 2\) и над осью X.