10.6. Вычислите площади фигур, ограниченных графиками функции 2) y = x2, y = 0, x = 2;
Давайте разберем задачу по шагам и найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2\), \(y = 0\) (ось X) и вертикальной линией \(x = 2\).
Шаг 1: Определение кривых
- График \(y = x^2\) – это парабола, открытая вверх, которая проходит через точку (0,0).
- График \(y = 0\) – это просто горизонтальная ось X.
- Линия \(x = 2\) – это вертикальная линия, которая пересекает ось X в точке (2,0).
Шаг 2: Найти точки пересечения
Область, ограниченная этими графиками, будет находиться между осью X и параболой от \(x = 0\) до \(x = 2\). Точки пересечения графиков \(y = x^2\) и \(y = 0\) - это \(x = 0\) и \(x = 2\).
Шаг 3: Определение области интегрирования
Площадь фигур можно найти с помощью интеграла. Поскольку функция \(y = x^2\) находится выше оси X в интервале от \(x = 0\) до \(x = 2\), площадь \(A\) будет вычисляться интегрированием:
\[ A = \int_{0}^{2} (x^2 - 0) \, dx \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь нам нужно вычислить этот интеграл:
\[ A = \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Для вычисления интеграла \(x^2\) применяем формулу интегрирования:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Для \(n=2\):
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до 2:
\[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]
Шаг 5: Результат
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками \(y = x^2\), \(y = 0\) и \(x = 2\), равна:
\[ \boxed{\frac{8}{3}} \]
Эта площадь – это часть области, находящейся под графиком функции \(y = x^2\) между \(x = 0\) и \(x = 2\) и над осью X.
