решите систему 3x+4y=35 xy=25

Для решения системы уравнений:

1. \(3x + 4y = 35\)
2. \(xy = 25\)

мы можем выразить одно переменное через другое и подставить его в первое уравнение.

Начнем с уравнения \(xy = 25\). Выразим \(y\) через \(x\):

\[ y = \frac{25}{x} \]

Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:

\[ 3x + 4\left(\frac{25}{x}\right) = 35 \]

Упростим уравнение:

\[ 3x + \frac{100}{x} = 35 \]

Умножим обе стороны на \(x\) (при условии \(x \neq 0\)):

\[ 3x^2 + 100 = 35x \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 3x^2 - 35x + 100 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1225 - 1200 = 25 \]

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения \(a = 3\), \(b = -35\), \(D = 25\):

\[ x = \frac{35 \pm 5}{6} \]

Находим два значения для \(x\):

1. \(x_1 = \frac{35 + 5}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}\)
2. \(x_2 = \frac{35 - 5}{6} = \frac{30}{6} = 5\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого из \(x\).

1. Если \(x = \frac{20}{3}\):

\[ y = \frac{25}{\frac{20}{3}} = \frac{25 \cdot 3}{20} = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \]

2. Если \(x = 5\):

\[ y = \frac{25}{5} = 5 \]

Таким образом, у нас есть два решения системы:

1. \( \left( \frac{20}{3}, \frac{15}{4} \right) \)
2. \( (5, 5) \)

Ответ: \( \left( \frac{20}{3}, \frac{15}{4} \right) \) и \( (5, 5) \).