Решите систему 3x+4y=35 xy=25

Для решения системы уравнений: 1. \(3x + 4y = 35\) 2. \(xy = 25\) мы можем выразить одно переменное через другое и подставить его в первое уравнение. Начнем с уравнения \(xy = 25\). Выразим \(y\) через \(x\): \[ y = \frac{25}{x} \] Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \[ 3x + 4\left(\frac{25}{x}\right) = 35 \] Упростим уравнение: \[ 3x + \frac{100}{x} = 35 \] Умножим обе стороны на \(x\) (при условии \(x \neq 0\)): \[ 3x^2 + 100 = 35x \] Переносим все на одну сторону: \[ 3x^2 - 35x + 100 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1225 - 1200 = 25 \] Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения \(a = 3\), \(b = -35\), \(D = 25\): \[ x = \frac{35 \pm 5}{6} \] Находим два значения для \(x\): 1. \(x_1 = \frac{35 + 5}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}\) 2. \(x_2 = \frac{35 - 5}{6} = \frac{30}{6} = 5\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого из \(x\). 1. Если \(x = \frac{20}{3}\): \[ y = \frac{25}{\frac{20}{3}} = \frac{25 \cdot 3}{20} = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \] 2. Если \(x = 5\): \[ y = \frac{25}{5} = 5 \] Таким образом, у нас есть два решения системы: 1. \( \left( \frac{20}{3}, \frac{15}{4} \right) \) 2. \( (5, 5) \) Ответ: \( \left( \frac{20}{3}, \frac{15}{4} \right) \) и \( (5, 5) \).