10. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 350 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?

Давайте разберем задачу шаг за шагом. 1. **Дано:** - У акционера есть акции с ценами: 100, 200, 300, 400 и 500 рублей. - Средняя цена акций до покупки последней акции равна 333 рубля. - После покупки еще одной акции за 500 рублей, средняя цена акций не достигла 350 рублей. 2. **Цели и определения:** - Средняя цена акций вычисляется по формуле: \[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Сумма цен акций}}{\text{Количество акций}} \] 3. **Обозначим:** - Пусть \( n \) — количество акций до покупки последней. - Сумма цен акций до покупки последней равна \( S \). - Средняя цена до покупки составляет 333 рубля: \[ \frac{S}{n} = 333 \implies S = 333n \] 4. **После покупки последней акции:** - После добавления акции за 500 рублей, общее количество акций станет \( n + 1 \), а сумма цен станет \( S + 500 \): \[ \frac{S + 500}{n + 1} \] - Эта средняя цена должна быть меньше 350 рублей: \[ \frac{S + 500}{n + 1} < 350 \] 5. **Подставим сумму \( S \):** - Подставим выражение для \( S \) в неравенство: \[ \frac{333n + 500}{n + 1} < 350 \] 6. **Умножим обе стороны на \( n + 1 \)** (поскольку \( n + 1 > 0 \), знак неравенства не меняется): \[ 333n + 500 < 350(n + 1) \] 7. **Раскроем скобки:** \[ 333n + 500 < 350n + 350 \] 8. **Переносим все члены с \( n \) в одну сторону и свободные члены в другую:** \[ 500 - 350 < 350n - 333n \] \[ 150 < 17n \] 9. **Теперь решим неравенство для \( n \):** \[ n > \frac{150}{17} \approx 8.82 \] Поскольку \( n \) — это целое число, наименьшее целое значение для \( n \) равно 9. 10. **Проверка:** - Если \( n = 9 \), тогда: \[ S = 333 \cdot 9 = 2997 \] Общее количество акций после покупки одной за 500 рублей будет \( 10 \), сумма цен \( S + 500 = 2997 + 500 = 3497 \). Проверяем среднюю цену: \[ \frac{3497}{10} = 349.7 \quad (меньше \, 350) \] Это согласуется с условиями задачи. Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера до покупки последней акции, равно **9 акций**.