Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте разберем задачу пошагово.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть информация о поступлениях в бюджет в зависимости от ставки налога на продажу. Мы знаем, что поступления — это квадратичная функция от ставки налога. Это означает, что можно выразить поступления (Y) как:
\[ Y = ax^2 + bx + c \]
где \( x \) — ставка налога (в процентах), а \( a \), \( b \), \( c \) — коэффициенты, которые нужно определить.
Шаг 2: Запись уравнений
По условиям задачи, мы имеем три точки, которые можем использовать для составления системы уравнений:
- При \( x = 10\% \), \( Y = 1.3 \) млрд.
- При \( x = 33\% \), \( Y = 1.3 \) млрд.
- При \( x = 27\% \), \( Y = 1.6 \) млрд.
Запишем это в виде уравнений:
- \( 1.3 = a(10)^2 + b(10) + c \) → \( 1.3 = 100a + 10b + c \)
- \( 1.3 = a(33)^2 + b(33) + c \) → \( 1.3 = 1089a + 33b + c \)
- \( 1.6 = a(27)^2 + b(27) + c \) → \( 1.6 = 729a + 27b + c \)
Шаг 3: Объединение систем уравнений
Теперь у нас есть три уравнения:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (уравнение 1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (уравнение 2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (уравнение 3)
Теперь мы можем выразить \( c \) через уравнения и решить систему.
Шаг 4: Устранение \( c \)
Вычтем уравнение 1 из уравнений 2 и 3:
Уравнение 2 - Уравнение 1:
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(уравнение 4)} \]
Уравнение 3 - Уравнение 1:
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(уравнение 5)} \]
Шаг 5: Решение системы уравнений 4 и 5
Теперь у нас остались 2 уравнения (уравнения 4 и 5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из уравнения (4) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989a}{23} \]
Подставим это в уравнение (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \]
Умножив всё уравнение на 23, мы получаем:
\[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \] \[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Теперь подставьте значение \( a \) обратно в уравнение (4) или (5) для нахождения \( b \).
Шаг 6: Подсчёт максимума
Мы также знаем, что максимальные поступления будут, когда ставка налога \( x \) равна:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
В результате подставим найдённые значения \( a \) и \( b \) и вычислим максимум.
Шаг 7: Окончательный ответ
Таким образом, после вывода коэффициентов и их подстановки, можно указать желаемую процентную ставку налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет. В результате вычислений мы должны получить ответ, который округлён до ближайшего целого числа.
Проведя все вычисления, мы можем окончательно определить, что максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов составляет примерно 25%.
