Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить задачу о нахождении максимальной ставки налога, при которой поступления в бюджет будут минимальными, следуем следующему плану:
Шаг 1: Определение модели
Согласно условию, зависимость поступлений \( P \) от налоговой ставки \( x \) является квадратичной функцией. Обычно такая зависимость имеет вид: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \), и \( c \) — некоторые коэффициенты. Поскольку у нас есть несколько точек, можем использовать их, чтобы составить систему уравнений.
Шаг 2: Составление системы уравнений
Из условия задачи известны три точки:
- \( P(10) = 1.3 \)
- \( P(33) = 1.3 \)
- \( P(27) = 1.6 \)
Подставим эти значения в уравнение квадратичной функции:
При \( x = 10 \): \[ a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \quad \Rightarrow \quad 100a + 10b + c = 1.3 \quad \text{(1)} \]
При \( x = 33 \): \[ a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \quad \Rightarrow \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \quad \text{(2)} \]
При \( x = 27 \): \[ a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \quad \Rightarrow \quad 729a + 27b + c = 1.6 \quad \text{(3)} \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 3: Решение системы уравнений
Мы можем вычесть уравнение (1) из уравнений (2) и (3) для упрощения системы:
Вычитание уравнений:
Из (2) - (1): \[ (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
Из (3) - (1): \[ (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \]
Теперь у нас есть две уравнения (4) и (5).
Шаг 4: Найдем коэффициенты
Теперь можем выразить \( b \) через \( a \) из уравнения (4): \[ 23b = -989a \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{989}{23}a \approx -43.87a \]
Подставляем \( b \) в уравнение (5): \[ 629a + 17(-43.87a) = 0.3 \] \[ 629a - 746.79a = 0.3 \] \[ -117.79a = 0.3 \quad \Rightarrow \quad a \approx -0.002543 \]
Теперь находясь \( a \), можем найти \( b \): \[ b \approx -43.87(-0.002543) \approx 0.1119 \]
Шаг 5: Найдем \( c \)
Подставим \( a \) и \( b \) в одно из исходных уравнений. Возьмем уравнение (1): \[ 100(-0.002543) + 10(0.1119) + c = 1.3 \] \[ -0.2543 + 1.119 + c = 1.3 \] \[ c \approx 1.3 + 0.2543 - 1.119 \approx 0.4353 \]
Шаг 6: Подводим итог
Теперь у нас есть квадратичная функция: \[ P(x) \approx -0.002543x^2 + 0.1119x + 0.4353 \]
Шаг 7: Максимум функции
Чтобы найти максимум, воспользуемся координатой вершины параболы: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1119}{2(-0.002543)} \approx 21.98 \]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, приводящая к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет приблизительно 22%.
