В партии 10 % нестандартных деталей. Из нее наугад отбирают 4 детали. Случаиная величина Х равна числу нестандартных деталей среди отобранных.Найдите закон Распределения случайной…

Для решения данной задачи мы будем использовать понятия из теории вероятностей, в частности, биномиальное распределение. Рассмотрим пошагово:

Шаг 1: Определение параметров задачи

• Пусть в партии 10% нестандартных деталей, это означает, что в выборке вероятность того, что деталь нестандартная, \( p = 0.1 \) (или 10%), а вероятность того, что деталь стандартная, \( q = 1 - p = 0.9 \) (или 90%).
• Выборка производится из 4 деталей, т.е. размер выборки \( n = 4 \).

Шаг 2: Определение случайной величины \( X \)

Случайная величина \( X \) равна количеству нестандартных деталей среди отобранных 4. Это значение может принимать целые значения от 0 до 4 (включительно).

Шаг 3: Закон распределения

Случайная величина \( X \) следует биномиальному распределению:

\[ X \sim B(n, p) \]

где \( n = 4 \) и \( p = 0.1 \).

Формула для вероятности того, что среди \( n \) испытаний будет \( k \) успехов (в нашем случае нестандартных деталей) выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 4: Вычислим вероятность для каждого значения \( k \) от 0 до 4

1. Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.6561 = 0.6561 \]
2. Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^3 = 4 \cdot 0.1 \cdot 0.729 = 0.2916 \]
3. Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^2 = 6 \cdot 0.01 \cdot 0.81 = 0.0486 \]
4. Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^1 = 4 \cdot 0.001 \cdot 0.9 = 0.0036 \]
5. Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.1)^4 \cdot (0.9)^0 = 1 \cdot 0.0001 \cdot 1 = 0.0001 \]

Шаг 5: Подытожим результаты

Теперь у нас есть закон распределения случайной величины \( X \): \[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.6561 \\ P(X = 1) & = 0.2916 \\ P(X = 2) & = 0.0486 \\ P(X = 3) & = 0.0036 \\ P(X = 4) & = 0.0001 \\ \end{align*} \]

Шаг 6: Определение наиболее вероятного значения

Наиболее вероятное количество нестандартных деталей — это значение \( k \), для которого вероятность \( P(X = k) \) максимальна. В нашем случае:

• \( P(X = 0) = 0.6561 \) — максимальная вероятность.

Таким образом, наиболее вероятное количество нестандартных деталей в выборке равно 0.