Для решения данной задачи мы будем использовать понятия из теории вероятностей, в частности, биномиальное распределение. Рассмотрим пошагово:
Шаг 1: Определение параметров задачи
- Пусть в партии 10% нестандартных деталей, это означает, что в выборке вероятность того, что деталь нестандартная, ( p = 0.1 ) (или 10%), а вероятность того, что деталь стандартная, ( q = 1 - p = 0.9 ) (или 90%).
- Выборка производится из 4 деталей, т.е. размер выборки ( n = 4 ).
Шаг 2: Определение случайной величины ( X )
Случайная величина ( X ) равна количеству нестандартных деталей среди отобранных 4. Это значение может принимать целые значения от 0 до 4 (включительно).
Шаг 3: Закон распределения
Случайная величина ( X ) следует биномиальному распределению:
[
X \sim B(n, p)
]
где ( n = 4 ) и ( p = 0.1 ).
Формула для вероятности того, что среди ( n ) испытаний будет ( k ) успехов (в нашем случае нестандартных деталей) выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 4: Вычислим вероятность для каждого значения ( k ) от 0 до 4
- Для ( k = 0 ):
[
P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.6561 = 0.6561
]
- Для ( k = 1 ):
[
P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^3 = 4 \cdot 0.1 \cdot 0.729 = 0.2916
]
- Для ( k = 2 ):
[
P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^2 = 6 \cdot 0.01 \cdot 0.81 = 0.0486
]
- Для ( k = 3 ):
[
P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^1 = 4 \cdot 0.001 \cdot 0.9 = 0.0036
]
- Для ( k = 4 ):
[
P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.1)^4 \cdot (0.9)^0 = 1 \cdot 0.0001 \cdot 1 = 0.0001
]
Шаг 5: Подытожим результаты
Теперь у нас есть закон распределения случайной величины ( X ):
[
\begin{align*}
P(X = 0) & = 0.6561 \
P(X = 1) & = 0.2916 \
P(X = 2) & = 0.0486 \
P(X = 3) & = 0.0036 \
P(X = 4) & = 0.0001 \
\end{align*}
]
Шаг 6: Определение наиболее вероятного значения
Наиболее вероятное количество нестандартных деталей — это значение ( k ), для которого вероятность ( P(X = k) ) максимальна. В нашем случае:
- ( P(X = 0) = 0.6561 ) — максимальная вероятность.
Таким образом, наиболее вероятное количество нестандартных деталей в выборке равно 0.
