представь в виде произведения двух биномов ( переменные вводив латинской раскладке ): 81b²+18 b+1
Давайте разберем, как представить данное выражение в виде произведения двух биномов. Нам дано выражение:
\[ 81b^2 + 18b + 1 \]
Шаг 1: Определение формы биномов.
Мы будем искать два биномы вида:
\[ (mb + n)(pb + q) \]
Шаг 2: Раскрытие скобок.
Раскроем скобки:
\[ mpb^2 + (mq + np)b + nq \]
Сравним полученные коэффициенты с оригинальным выражением \( 81b^2 + 18b + 1 \). Мы увидим, что:
- \( mp = 81 \) (коэффициент при \( b^2 \))
- \( mq + np = 18 \) (коэффициент при \( b \))
- \( nq = 1 \) (свободный член)
Шаг 3: Поиск значений.
Поскольку \( mp = 81 \), можно разложить 81 на множители. Возможные пары \((m, p)\):
- \( (1, 81) \)
- \( (3, 27) \)
- \( (9, 9) \)
Далее, нам нужно найти такие \( n \) и \( q \), чтобы удовлетворять уравнению для свободного члена и для коэффициента при \( b \).
Начнем с пары \( (9, 9) \):
Положим \( m = 9 \) и \( p = 9 \). Тогда \( 9q + 9n = 18 \) (коэффициент при \( b \)). Отсюда получаем:
\[ q + n = 2 \]
И для свободного члена:
\[ nq = 1 \]
Шаг 4: Решаем систему.
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( n + q = 2 \)
- \( nq = 1 \)
Подставим \( q = 2 - n \) в уравнение \( nq = 1 \):
\[ n(2 - n) = 1 \]
Это даёт:
\[ 2n - n^2 = 1 \]
Перепишем:
\[ n^2 - 2n + 1 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения.
Это квадратное уравнение можно решить по формуле:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \):
\[ n = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1 \]
Таким образом, \( n = 1 \) и подставив в \( q = 2 - n \):
\[ q = 2 - 1 = 1 \]
Шаг 6: Сборка биномов.
Теперь мы можем собрать биномы:
\[ (9b + 1)(9b + 1) \]
Или, записав в виде квадрата:
\[ (9b + 1)^2 \]
Итак, окончательный ответ:
\[ 81b^2 + 18b + 1 = (9b + 1)(9b + 1) = (9b + 1)^2 \]
Это и есть представление данного выражения в виде произведения биномов!
