Найди значение выражения
Давай разберём каждое из указанных выражений по порядку:
\( \log_2 9 \)
Здесь мы не можем упростить логарифм точно, но можем выразить через другие логарифмы:
\[ \log_2 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 2} \]
\( \log_{0.4} 6 \cdot \log_{0.2} 5 \)
Чтобы решить, нужно воспользоваться свойством логарифмов: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\).
Переписываем логарифмы с общим основанием, например, 10:
\[ \log_{0.4} 6 = \frac{\log_{10} 6}{\log_{10} 0.4} \]
\[ \log_{0.2} 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 0.2} \]
Умножаем дроби и упрощаем.
\( \log_7 5 \cdot \log_9 49 \)
Нужен общий принцип, используя то же свойство логарифмов. Сначала упростим второй логарифм:
\[ \log_9 49 = \log_9 (7^2) = 2 \log_9 7 \]
Дальше выражаем через логарифмы с основанием 10 и упрощаем.
\( \log_3 0.9 + \log_9 10 \)
Используем свойства логарифмов:
\[ \log_3 0.9 = \log_3 \frac{9}{10} = \log_3 9 - \log_3 10 = 2 - \log_3 10 \]
Второе выражение:
\[ \log_9 10 = \frac{\log_3 10}{\log_3 9} = \frac{\log_3 10}{2} \]
Упростив, мы складываем выражения.
\( (1 - \log_3 24)(1 - \log_9 24) \)
Упрощаем:
\[ 1 - \log_3 24 = 1 - (\log_3 3 + \log_3 8) = 1 - (1 + \log_3 8) \]
\[ 1 - \log_9 24 = 1 - \frac{\log_3 24}{2} \]
Теперь упрощаем выражение, используя изначальные условия.
\( 64 \log_5 \sqrt{5} \)
Переписываем:
\[ \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2} \log_5 5 = \frac{1}{2} \]
Умножаем на 64:
\[ 64 \cdot \frac{1}{2} = 32 \]
\( \log_{\sqrt[7]{10}} 10 \)
Применяем свойства логарифмов:
\[ \log_{10^{1/7}} 10 = \frac{\log_{10} 10}{1/7} = 7 \]
\( \frac{\log_8 320}{2 + \log_3 5} \)
Упрощаем первый логарифм:
\[ \log_8 320 = \log_8 (2^6 \cdot 5) = 6 \log_8 2 + \log_8 5 = 6 \cdot \frac{1}{3} + \log_8 5 = 2 + \log_8 5 \]
Упростив, подставляем во второе выражение и делим.
На этом месте подходы могут отличаться в зависимости от параметров логарифмов и их взаимосвязи. Если есть конкретные значения или другие условия, которые нужно учесть, дай знать.
