Чему равна температура гелия, если средняя квадратичная скорость поступательного движения его молекул равна скорости молекул кислорода при температуре 500° С.

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы, связанные со средней квадратичной скоростью молекул газа и зависимостью этой скорости от температуры.

1. Формула средняя квадратичная скорость: Средняя квадратичная скорость молекул газа определяется по формуле: \[ v_{\text{ср.кв.}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \] где:

   • \( v_{\text{ср.кв.}} \) — средняя квадратичная скорость,
   • \( k \) — постоянная Больцмана (\( \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \)),
   • \( T \) — температура в Кельвинах,
   • \( m \) — масса молекулы газа (в килограммах).

2. Температура газа кислорода: Сначала преобразуем температуру кислорода с Цельсия в Кельвины: \[ T_{\text{O}_2} = 500 + 273.15 = 773.15 \, \text{К} \]

3. Масса молекулы кислорода: Масса молекулы кислорода (\( O_2 \)) может быть рассчитана как: \[ \text{масса} = \frac{M}{N_A} \] где:

   • \( M \) — молярная масса кислорода (приблизительно 32 г/моль или \( 0.032 \, \text{кг/моль} \)),
   • \( N_A \) — число Авогадро (\( \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1} \)).

   Таким образом, масса одной молекулы кислорода: \[ m_{\text{O}_2} = \frac{0.032}{6.022 \times 10^{23}} \approx 5.31 \times 10^{-26} \, \text{кг} \]

4. Средняя квадратичная скорость для кислорода: Подставляем в формулу среднюю квадратичную скорость для кислорода: \[ v_{\text{O}_2} = \sqrt{\frac{3kT_{\text{O}_2}}{m_{\text{O}_2}}} \]

5. Температура гелия: Для гелия (He) воспользуемся аналогичной формулой, но нам нужно будет сопоставить эту скорость с гелием. Масса молекулы гелия: \[ m_{\text{He}} = \frac{4 \, \text{г/моль}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 6.64 \times 10^{-27} \, \text{кг} \] Теперь мы знаем, что: \[ v_{\text{He}} = v_{\text{O}_2} \] Подставляем это в уравнение для среднего квадратичного движения гелия: \[ \sqrt{\frac{3kT_{\text{He}}}{m_{\text{He}}}} = \sqrt{\frac{3kT_{\text{O}_2}}{m_{\text{O}_2}}} \]

   Сравнивая эти два уравнения, можно сказать: \[ \frac{T_{\text{He}}}{m_{\text{He}}} = \frac{T_{\text{O}_2}}{m_{\text{O}_2}} \]

   Отсюда: \[ T_{\text{He}} = T_{\text{O}_2} \cdot \frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{O}_2}} \]

6. Вычисления: Подставляя наши значения, мы получаем: \[ T_{\text{He}} = 773.15 \cdot \frac{6.64 \times 10^{-27}}{5.31 \times 10^{-26}} \approx 773.15 \cdot 0.1248 \approx 96.56 \, \text{К} \]

Таким образом, температура гелия составляет примерно 96.56 К.