(5х -2) логарифм одна третия х меньше нуля

Для решения неравенства \((5x - 2) \log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) давайте разберем его по частям. ### Шаг 1: Анализ логарифма Сначала обратим внимание на логарифм. У нас есть \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)}\). Логарифм будет определён, когда его аргумент положителен: \[ \frac{1}{3} x > 0 \Rightarrow x > 0 \] Это значит, что в нашем неравенстве \(x\) должно быть положительным. ### Шаг 2: Определение знака логарифма Теперь выясним, при каких значениях \(x\) логарифм будет положительным или отрицательным. Для этого найдем точку, при которой логарифм равен нулю: \[ \frac{1}{3} x = 1 \Rightarrow x = 3 \] Таким образом: - При \(x < 3\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) (логарифм отрицателен). - При \(x = 3\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} = 0\) (логарифм равен нулю). - При \(x > 3\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} > 0\) (логарифм положителен). ### Шаг 3: Анализ всего неравенства Теперь у нас есть два множителя в неравенстве: \((5x - 2)\) и \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)}\). 1. **Когда \(5x - 2 < 0\)**: \[ 5x - 2 < 0 \Rightarrow 5x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{5} \] В этом случае \(5x - 2\) отрицателен, и если \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)}\) также отрицателен (на интервале \(0 < x < 3\)), то произведение будет положительным, что не соответствует нашему неравенству. 2. **Когда \(5x - 2 = 0\)**: \[ 5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \] В этом случае произведение будет равно нулю. 3. **Когда \(5x - 2 > 0\)**: \[ 5x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{5} \] Теперь рассмотрим, что происходит для \(x > \frac{2}{5}\): - При \(x \in \left(\frac{2}{5}, 3\right)\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) и \(5x - 2 > 0\), произведение будет отрицательным. - При \(x = 3\), произведение будет равно нулю (мы уже вычисляли). - При \(x > 3\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} > 0\) и \(5x - 2 > 0\), произведение будет положительным. ### Шаг 4: Итоговые промежутки Таким образом, неравенство \((5x - 2) \log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) выполняется на интервале: \[ \frac{2}{5} < x < 3 \] ### Ответ Неравенство \((5x - 2) \log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) выполняется для значений \(x\) в интервале: \[ \boxed{\left(\frac{2}{5}, 3\right)} \]