(5х -2) логарифм одна третия х меньше нуля

Question

Алгебра · 10 класс Задача №2845331

А

Аноним

26 февраля 2025 11:24 · публичный вопрос

А

Аноним 26 февраля 2025 11:24

Ответ нейросети

26 февраля 2025 11:24

Для решения неравенства \((5x - 2) \log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) давайте разберем его по частям.

Сначала обратим внимание на логарифм. У нас есть \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)}\). Логарифм будет определён, когда его аргумент положителен:

\[ \frac{1}{3} x > 0 \Rightarrow x > 0 \]

Это значит, что в нашем неравенстве \(x\) должно быть положительным.

Теперь выясним, при каких значениях \(x\) логарифм будет положительным или отрицательным. Для этого найдем точку, при которой логарифм равен нулю:

\[ \frac{1}{3} x = 1 \Rightarrow x = 3 \]

Таким образом:

Теперь у нас есть два множителя в неравенстве:

\((5x - 2)\) и \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)}\).

Когда \(5x - 2 < 0\): \[ 5x - 2 < 0 \Rightarrow 5x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{5} \]

В этом случае \(5x - 2\) отрицателен, и если \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)}\) также отрицателен (на интервале \(0 < x < 3\)), то произведение будет положительным, что не соответствует нашему неравенству.
Когда \(5x - 2 = 0\): \[ 5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \]

В этом случае произведение будет равно нулю.
Когда \(5x - 2 > 0\): \[ 5x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{5} \]

Теперь рассмотрим, что происходит для \(x > \frac{2}{5}\):
- При \(x \in \left(\frac{2}{5}, 3\right)\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) и \(5x - 2 > 0\), произведение будет отрицательным.
- При \(x = 3\), произведение будет равно нулю (мы уже вычисляли).
- При \(x > 3\), \(\log{\left(\frac{1}{3}x\right)} > 0\) и \(5x - 2 > 0\), произведение будет положительным.

Таким образом, неравенство \((5x - 2) \log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) выполняется на интервале:

\[ \frac{2}{5} < x < 3 \]

Неравенство \((5x - 2) \log{\left(\frac{1}{3}x\right)} < 0\) выполняется для значений \(x\) в интервале:

\[ \boxed{\left(\frac{2}{5}, 3\right)} \]