В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим начальные данные:
- У акционера Б. есть акции с ценами: 100 р, 200 р, 300 р, 400 р и 500 р.
- Средняя цена его акций до покупки новой равна 288 рублям.
Вычислим количество акций и их общую стоимость до покупки последней акции:
- Пусть \( n \) — количество акций.
- Сумма цен акций: \( 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 \) руб.
- Средняя цена акций: \[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Сумма цен}}{n} \] Мы знаем, что средняя цена равна 288, следовательно: \[ \frac{1500}{n} = 288 \implies 1500 = 288n \implies n = \frac{1500}{288} \approx 5.2083 \] Поскольку \( n \) должно быть целым числом, затем округлим, чтобы найти ближайшее целое число. То есть \( n \) может быть равным 5 или 6.
Проверяем, что происходит с 5 и 6 акциями:
- Если \( n = 5 \): \[ \text{Средняя цена} = \frac{1500}{5} = 300 \text{р.} \quad (\text{не соответствует условию}) \]
- Если \( n = 6 \): \[ \text{Сумма цен} = 1500 \text{р.} \] Следовательно, средняя цена будет: \[ \frac{1500}{6} = 250 \text{р.} \quad (\text{тоже не соответствует условию}) \]
Вывод: Значит, \( n \) не может равняться ни 5, ни 6. Нам нужно определить, сколько акций у него было, чтобы средняя цена равнялась 288.
Теперь добавим новую акцию за 500 р. После покупки новой акции:
- Количество акций: \( n + 1 \).
- Общая стоимость акций: \( 1500 + 500 = 2000 \).
- Новая средняя цена должна быть меньше 320 р: \[ \frac{2000}{n + 1} < 320. \] Умножим обе стороны на \( n + 1 \): \[ 2000 < 320(n + 1) \implies 2000 < 320n + 320 \implies 320n > 1680 \implies n > \frac{1680}{320} = 5.25. \] Таким образом, \( n \) должно быть не менее 6. Поскольку \( n \) может быть только целым числом, получается, что наименьшее количество акций до покупки последней акции должно составлять 6.
Ответ: Наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции — 6 акций.
