Для решения задачи, давайте начнем с изображения треугольника ( \triangle PBA ), где угол ( A ) равен 90°, высота ( AH ) равна 5 см, а ( AB ) равно 10 см. Мы будем искать угол ( \angle APB ).
Шаг 1: Определение треугольника и его элементов
Обозначим:
- ( A ) — вершина с прямым углом (90°),
- ( B ) и ( P ) — остальные вершины треугольника.
Высота ( AH ) опущена из точки ( A ) на сторону ( PB ), делая угол ( A ) прямым. Это значит, что ( AH ) перпендикулярно ( PB ) и делит треугольник на два прямоугольных треугольника: ( \triangle ABH ) и ( \triangle APH ).
Шаг 2: Использование свойств прямоугольного треугольника
В треугольнике ( ABH ):
- ( AB = 10 \text{ см} )
- ( AH = 5 \text{ см} )
Теперь мы можем найти ( BH ) с помощью теоремы Пифагора, где ( AH ) — это один из катетов, ( AB ) — гипотенуза, а ( BH ) — другой катет:
[
AB^2 = AH^2 + BH^2
]
Подставляем известные значения:
[
10^2 = 5^2 + BH^2
]
[
100 = 25 + BH^2
]
[
BH^2 = 100 - 25
]
[
BH^2 = 75
]
[
BH = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см}
]
Шаг 3: Рассмотрение треугольника ( ABH )
Теперь нам нужно найти угол ( \angle APB ). Мы можем использовать тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике ( ABH ).
По определению тангенса:
[
\tan(\angle AHB) = \frac{AH}{BH} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
]
Отсюда можем найти угол ( \angle AHB ):
[
\angle AHB = 30° \quad (\text{так как } \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}})
]
Шаг 4: Вычисляем угол ( \angle APB )
У нас есть:
[
\angle APB = 180° - \angle AHB - \angle A = 180° - 30° - 90°
]
[
\angle APB = 60°
]
Ответ
Таким образом, угол ( \angle APB ) равен ( 60° ).
