Для решения задачи определим, как следует пользоваться интегральной функцией распределения случайной величины (X). Интегральная функция распределения (F(x)) задает вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное (x).
В данной задаче у нас есть следующая интегральная функция распределения:
[
F(x) =
\begin{cases}
0, & \text{при } x < 1 \
x - 1, & \text{при } 1 \leq x \leq 2 \
1, & \text{при } x > 2
\end{cases}
]
Теперь, чтобы найти вероятность, что случайная величина (X) примет значение в заданном интервале ((a, b)), нужно вычислить разность значений интегральной функции в точках (b) и (a):
[
P(a < X < b) = F(b) - F(a)
]
Теперь разберем оба интервала.
a) Интервал (1, 3)
Выявляем крайние точки:
Находим значения (F(3)) и (F(1)):
- Для (b = 3): (x > 2 \implies F(3) = 1)
- Для (a = 1): (1 \leq x \leq 2 \implies F(1) = 1 - 1 = 0)
Вычисляем вероятность:
[
P(1 < X < 3) = F(3) - F(1) = 1 - 0 = 1
]
b) Интервал (1, 2)
Выявляем крайние точки:
Находим значения (F(2)) и (F(1)):
- Для (b = 2): (1 \leq x \leq 2 \implies F(2) = 2 - 1 = 1)
- Для (a = 1): (F(1) = 0) (как мы ранее уже нашли)
Вычисляем вероятность:
[
P(1 < X < 2) = F(2) - F(1) = 1 - 0 = 1
]
c) Интервал (1, 1.8)
Выявляем крайние точки:
Находим значения (F(1.8)) и (F(1)):
- Для (b = 1.8): (1 \leq x \leq 2 \implies F(1.8) = 1.8 - 1 = 0.8)
- Для (a = 1): (F(1) = 0).
Вычисляем вероятность:
[
P(1 < X < 1.8) = F(1.8) - F(1) = 0.8 - 0 = 0.8
]
Результаты:
- Для интервала (1, 3): ( P(1 < X < 3) = 1 )
- Для интервала (1, 1.8): ( P(1 < X < 1.8) = 0.8 )
Таким образом, мы определили вероятности для заданных интервалов, используя интегральную функцию распределения.
