12.6.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения: 0 при x<1 F(x)=x-1 при 1≤х≤2 1 при х>2 Определить вероятность того, что случайная величина примет значение…
12.6.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения: 0 при x<1 F(x)=x-1 при 1≤х≤2 1 при х>2 Определить вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале: a) (1,3; 1,5); 6) (1,2; 1,8).
Для решения задачи определим, как следует пользоваться интегральной функцией распределения случайной величины \(X\). Интегральная функция распределения \(F(x)\) задает вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное \(x\).
В данной задаче у нас есть следующая интегральная функция распределения:
\[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 1 \\ x - 1, & \text{при } 1 \leq x \leq 2 \\ 1, & \text{при } x > 2 \end{cases} \]
Теперь, чтобы найти вероятность, что случайная величина \(X\) примет значение в заданном интервале \((a, b)\), нужно вычислить разность значений интегральной функции в точках \(b\) и \(a\):
\[ P(a < X < b) = F(b) - F(a) \]
Теперь разберем оба интервала.
a) Интервал (1, 3)
Выявляем крайние точки:
- \( a = 1 \)
- \( b = 3 \)
Находим значения \(F(3)\) и \(F(1)\):
- Для \(b = 3\): \(x > 2 \implies F(3) = 1\)
- Для \(a = 1\): \(1 \leq x \leq 2 \implies F(1) = 1 - 1 = 0\)
Вычисляем вероятность: \[ P(1 < X < 3) = F(3) - F(1) = 1 - 0 = 1 \]
b) Интервал (1, 2)
Выявляем крайние точки:
- \( a = 1 \)
- \( b = 2 \)
Находим значения \(F(2)\) и \(F(1)\):
- Для \(b = 2\): \(1 \leq x \leq 2 \implies F(2) = 2 - 1 = 1\)
- Для \(a = 1\): \(F(1) = 0\) (как мы ранее уже нашли)
Вычисляем вероятность: \[ P(1 < X < 2) = F(2) - F(1) = 1 - 0 = 1 \]
c) Интервал (1, 1.8)
Выявляем крайние точки:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1.8 \)
Находим значения \(F(1.8)\) и \(F(1)\):
- Для \(b = 1.8\): \(1 \leq x \leq 2 \implies F(1.8) = 1.8 - 1 = 0.8\)
- Для \(a = 1\): \(F(1) = 0\).
Вычисляем вероятность: \[ P(1 < X < 1.8) = F(1.8) - F(1) = 0.8 - 0 = 0.8 \]
Результаты:
- Для интервала (1, 3): \( P(1 < X < 3) = 1 \)
- Для интервала (1, 1.8): \( P(1 < X < 1.8) = 0.8 \)
Таким образом, мы определили вероятности для заданных интервалов, используя интегральную функцию распределения.
