В треугольнике MNK угол NMK равен 30°, MK = KN. Нужно найти внешний угол при вершине K.

Чтобы решить задачу, давайте представим треугольник \( MNK \) с заданной информацией. 1. **Исходные данные:** - Угол \( NMK = 30^\circ \) - Отрезки \( MK \) и \( KN \) равны, то есть \( MK = KN \). Это означает, что треугольник \( MKL \) является равнобедренным. 2. **Обозначения:** - Обозначим угол \( MNK \) как \( x \). - Поскольку \( MK = KN \), значит углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[ \angle KMN = \angle KNM = y. \] 3. **Сумма углов в треугольнике:** В любом треугольнике сумма внутренних углов равна \( 180^\circ \). Таким образом, для треугольника \( MNK \) у нас будет: \[ NMK + KMN + KNM = 180^\circ. \] Подставляя известные значения: \[ 30^\circ + y + y = 180^\circ. \] Это упрощается до: \[ 30^\circ + 2y = 180^\circ. \] Выразим \( y \): \[ 2y = 180^\circ - 30^\circ, \] \[ 2y = 150^\circ, \] \[ y = 75^\circ. \] 4. **Нахождение внешнего угла:** Теперь мы хотим найти внешний угол при вершине \( K \). Внешний угол образуется, когда одна из сторон продолжается за вершину \( K \). В данном случае внешний угол \( K \) равен сумме двух не смежных внутренних углов: \[ \text{Внешний угол} = \angle KMN + \angle KNM. \] Подставим найденные значения: \[ \text{Внешний угол} = y + y = 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ. \] 5. **Ответ:** Внешний угол при вершине \( K \) равен \( 150^\circ \). Таким образом, мы решили задачу, шаг за шагом, используя свойства треугольников и обоснования, что позволяет больше понять структуру задачи и логику её решения.