Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45 градусов. Объём призмы равен 108 см3. Найдите площадь полной поверхности призмы

Чтобы решить задачу, сначала определим необходимые данные и шаги для нахождения площади полной поверхности прямой призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника.

Шаг 1: Найдите размеры основания призмы.

Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45 градусов. В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов катеты равны.

Таким образом, второй катет также равен 6 см.

• Катет a = 6 см
• Катет b = 6 см

Шаг 2: Найдите площадь основания треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Найдите высоту призмы.

Объём призмы \( V \) рассчитывается по формуле: \[ V = S \cdot h \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота призмы.

У нас есть объём \( V = 108 \text{ см}^3 \) и площадь основания \( S = 18 \text{ см}^2 \).

Теперь можем найти высоту \( h \): \[ h = \frac{V}{S} = \frac{108}{18} = 6 \text{ см} \]

Шаг 4: Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле: \[ P_{бок} = периметр \, основания \cdot h \]

Сначала найдем периметр основания. Периметр прямоугольного треугольника: \[ P = a + b + c \] где \( c \) — гипотенуза, которую мы можем найти по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} \] Теперь найдем периметр \( P \): \[ P = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: \[ P_{бок} = P \cdot h = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = 72 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Шаг 5: Найдите площадь полной поверхности призмы.

Полная поверхность призмы считается как сумма площадей боковой поверхности и двух оснований: \[ P_{пол} = P_{бок} + 2 \cdot S \] Подставим все известные значения: \[ P_{пол} = (72 + 36\sqrt{2}) + 2 \cdot 18 = (72 + 36\sqrt{2}) + 36 = 108 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы составляет \( 108 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2 \).