Чтобы решить задачу, сначала определим необходимые данные и шаги для нахождения площади полной поверхности прямой призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Найдите размеры основания призмы.
Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45 градусов. В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов катеты равны.
Таким образом, второй катет также равен 6 см.
- Катет a = 6 см
- Катет b = 6 см
Шаг 2: Найдите площадь основания треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставим известные значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}^2
]
Шаг 3: Найдите высоту призмы.
Объём призмы ( V ) рассчитывается по формуле:
[
V = S \cdot h
]
где ( S ) — площадь основания, а ( h ) — высота призмы.
У нас есть объём ( V = 108 \text{ см}^3 ) и площадь основания ( S = 18 \text{ см}^2 ).
Теперь можем найти высоту ( h ):
[
h = \frac{V}{S} = \frac{108}{18} = 6 \text{ см}
]
Шаг 4: Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле:
[
P_{бок} = периметр , основания \cdot h
]
Сначала найдем периметр основания. Периметр прямоугольного треугольника:
[
P = a + b + c
]
где ( c ) — гипотенуза, которую мы можем найти по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см}
]
Теперь найдем периметр ( P ):
[
P = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} \text{ см}
]
Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
[
P_{бок} = P \cdot h = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = 72 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2
]
Шаг 5: Найдите площадь полной поверхности призмы.
Полная поверхность призмы считается как сумма площадей боковой поверхности и двух оснований:
[
P_{пол} = P_{бок} + 2 \cdot S
]
Подставим все известные значения:
[
P_{пол} = (72 + 36\sqrt{2}) + 2 \cdot 18 = (72 + 36\sqrt{2}) + 36 = 108 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2
]
Ответ:
Площадь полной поверхности призмы составляет ( 108 + 36\sqrt{2} \text{ см}^2 ).
