Чтобы вычислить объём конуса, используем следующую формулу:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где ( V ) — объём конуса, ( r ) — радиус основания, ( h ) — высота конуса.
Шаг 1: Найти радиус основания конуса
Дано, что длина окружности основания конуса составляет ( 20\pi ) см. Длина окружности ( C ) вычисляется по формуле:
[
C = 2 \pi r
]
Мы знаем, что ( C = 20\pi ), поэтому:
[
20\pi = 2\pi r
]
Теперь избавимся от ( \pi ).
[
20 = 2r
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
r = 10 \text{ см}
]
Шаг 2: Подставить радиус и высоту в формулу объёма
Теперь у нас есть радиус ( r = 10 ) см и высота ( h = 7.5 ) см. Подставим эти значения в формулу для объёма:
[
V = \frac{1}{3} \pi (10)^2 (7.5)
]
Шаг 3: Вычислить квадрат радиуса
Сначала вычислим квадрат радиуса:
[
(10)^2 = 100
]
Шаг 4: Подставить значение и умножить
Теперь подставим это значение в формулу:
[
V = \frac{1}{3} \pi (100) (7.5)
]
Теперь умножим ( 100 ) и ( 7.5 ):
[
100 \times 7.5 = 7500
]
Шаг 5: Умножить на (\frac{1}{3})
Теперь подставим это значение в формулу объёма:
[
V = \frac{1}{3} \pi (7500)
]
Разделим ( 7500 ) на ( 3 ):
[
7500 \div 3 = 2500
]
Шаг 6: Записать окончательный ответ
Таким образом, объём конуса равен:
[
V = 2500\pi \text{ см}^3
]
Ответ: 2500π
