Реши
Каждую из задач разберем по порядку.
1. Найдите длину обода, если радиус обода равен 0,7 м.
Для нахождения длины окружности используем формулу: \[ C = 2\pi r \] где \(r\) — радиус окружности.
Подставляем значение радиуса: \[ C = 2 \times \pi \times 0,7 = 1,4\pi \, (\text{м}) \]
2. Найдите площадь арены цирка, если диаметр равен 16 м.
Для начала найдём радиус окружности: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, (\text{м}) \]
Площадь круга вычисляется по формуле: \[ A = \pi r^2 \]
Подставляем значение радиуса: \[ A = \pi \times 8^2 = 64\pi \, (\text{м}^2) \]
3. Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.
Площадь круга \( A = \pi r^2 = 69 \).
Площадь сектора определяется формулой: \[ A_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times A \] где \( \alpha \) — центральный угол сектора.
Подставляем данные: \[ A_{\text{сектора}} = \frac{120}{360} \times 69 = \frac{1}{3} \times 69 = 23 \]
4. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 38° (\( \angle P \)). Найдите угол \( \angle AOB \).
Касательные к окружности в точках A и B образуют угол с радиусами OA и OB равный 90°. Поскольку четырёхугольник OAPB — вписанный, сумма углов ∠AOB и ∠P равна 180° (по свойству суммарных углов в четырёхугольнике):
\[ \angle AOB = 180^\circ - \angle P = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \]
5. Какие из следующих утверждений верны?
Через любую точку окружности параллельно радиусу можно провести касательную. - Неверно. Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром. - Верно. Хорда, проходящая через центр, делит окружность на две равные части.
Через любую точку, не лежащую на окружности, можно провести две касательные к этой окружности. - Верно. С каждой точки вне окружности можно провести две касательные.
6. Отрезок АВ = 32 касается окружности радиусом 24 с центром O в точке B. Окружность касается прямой AO в точке C (рисунок 3). Найдите AD.
Из условия задачи следует, что OB — радиус, а так как AB — касательная, значит, угол OBA — прямой. Треугольник OAB прямоугольный, где OB — радиус окружности (катет), AB — касательная к окружности, а OA — гипотенуза.
Используем теорему Пифагора для треугольника OAB:
\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ OA^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600 \]
Найдём OA:
\[ OA = \sqrt{1600} = 40 \]
По условию OC — радиус, равен 24, AD — дополнительное расстояние между точкой A и касательной C по прямой:
\[ AD = OA - OC = 40 - 24 = 16 \]
Таким образом, \( AD = 16 \).
