Площадь прямоугольного треугольника равна 65. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите меньший катет

Для нахождения меньшего катета прямоугольного треугольника воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника и тем, что один катет на 3 больше другого.

1. Обозначим меньший катет как \( x \). Т тогда больший катет будет равен \( x + 3 \).

2. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — катеты. В нашем случае площадь равна 65, и у нас есть катеты \( x \) и \( x + 3 \): \[ 65 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 3) \]

3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 130 = x \cdot (x + 3) \]

4. Раскроем скобки: \[ 130 = x^2 + 3x \]

5. Переносим все в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 3x - 130 = 0 \]

6. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -130 \): \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 \]

7. Найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения \( b \) и \( D \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 23}{2} \]

   Теперь найдем два возможных значения для \( x \):

   • \( x_1 = \frac{-3 + 23}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
   • \( x_2 = \frac{-3 - 23}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \) (это значение не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной)

8. Таким образом, меньший катет равен \( x = 10 \).

Ответ: Меньший катет равен 10.