найдите координаты точки принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек y (1 ;-4) x (9 ;-5)
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от двух заданных точек \( A(1, -4) \) и \( B(9, -5) \), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Понимание условия
Точка, принадлежащая оси абсцисс, имеет координаты вида \( (x, 0) \), где \( x \) — это искомая абсцисса. Мы ищем такую точку, которая будет равноудалена от точек \( A \) и \( B \).
Шаг 2: Формулировка условия равноудаленности
Для равноудаленности точки \( P(x, 0) \) от точек \( A \) и \( B \) необходимо, чтобы расстояние от \( P \) до \( A \) было равно расстоянию от \( P \) до \( B \). Это можно записать как:
\[ PA = PB \]
Шаг 3: Вычисление расстояний
Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) в двумерной плоскости можно найти по формуле:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Применим это к нашим точкам:
- Расстояние \( PA \):
\[ PA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 16} \]
- Расстояние \( PB \):
\[ PB = \sqrt{(x - 9)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(x - 9)^2 + 5^2} = \sqrt{(x - 9)^2 + 25} \]
Шаг 4: Составление уравнения
Теперь равенство расстояний можно записать так:
\[ \sqrt{(x - 1)^2 + 16} = \sqrt{(x - 9)^2 + 25} \]
Шаг 5: Избавимся от квадратных корней
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (x - 1)^2 + 16 = (x - 9)^2 + 25 \]
Шаг 6: Раскрываем скобки
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ (x^2 - 2x + 1) + 16 = (x^2 - 18x + 81) + 25 \]
Упрощаем:
\[ x^2 - 2x + 17 = x^2 - 18x + 106 \]
Шаг 7: Приведение подобный
Сокращаем \( x^2 \) с обеих сторон:
\[ -2x + 17 = -18x + 106 \]
Теперь добавим \( 18x \) и вычтем \( 17 \) с обеих сторон:
\[ 16x = 89 \]
Шаг 8: Находим \( x \)
Теперь поделим обе стороны на 16:
\[ x = \frac{89}{16} \]
Шаг 9: Обозначение координат
Итак, координаты нужной точки \( P \) будут:
\[ P\left(\frac{89}{16}, 0\right) \]
Ответ
Координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек \( A(1, -4) \) и \( B(9, -5) \), равны \( \left(\frac{89}{16}, 0\right) \).
