Для решения данной задачи мы должны использовать концепцию Архимедовой силы и общее понимание плавучести. Давайте разберёмся шаг за шагом.
Шаг 1: Определение объёма бревна
Начнём с нахождения объёма бревна. Бревно имеет форму цилиндра, и объём цилиндра вычисляется по формуле:
[
V = \pi r^2 h
]
где:
- ( V ) — объём цилиндра,
- ( r ) — радиус основания,
- ( h ) — высота (или длина) цилиндра.
Поскольку радиус указан в сантиметрах, приведём его к метрам:
[
r = 15 \text{ см} = 0,15 \text{ м}
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
V = \pi (0,15)^2 (1,5)
]
Далее вычислим:
[
V = \pi (0,0225) (1,5) \approx \pi (0,03375) \approx 0,1061 \text{ м}^3
]
Шаг 2: Вычисление массы бревна
Теперь, зная объём бревна, можем найти его массу, используя плотность. Плотность бревна (дубового) у нас 800 кг/м³. Масса вычисляется по формуле:
[
m = \rho V
]
где:
- ( m ) — масса,
- ( \rho ) — плотность,
- ( V ) — объём.
Подставляем значения:
[
m = 800 \cdot 0,1061 \approx 84,88 \text{ кг}
]
Шаг 3: Определение предельной массы бобра
Чтобы бревно оставалось на поверхности воды и бобер мог стоять на нём с сухими лапами, общая масса, которая действует на бревно (масса бревна плюс масса бобра), должна быть равна весу вытесненной воды.
Вес вытесненной воды равен весу объёма воды, эквивалентному объёму бревна:
[
P_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} V g
]
где:
- ( \rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3 ) (плотность воды),
- ( g \approx 9,81 \text{ м/с}^2 ) (ускорение свободного падения),
- ( V ) — объём бревна.
Таким образом, вычислим вес вытесненной воды:
[
P_{\text{воды}} = 1000 \cdot 0,1061 \cdot 9,81 \approx 1031 \text{ Н}
]
Шаг 4: Применяем условия равновесия
Согласно закону Архимеда, вес бревна плюс вес бобра должен равняться весу вытесненной воды:
[
m_{\text{бревна}} g + m_{\text{бобра}} g = P_{\text{воды}}
]
Упростим, убрав ( g ):
[
m_{\text{бревна}} + m_{\text{бобра}} = \frac{P_{\text{воды}}}{g} \approx \frac{1031}{9,81} \approx 105,1 \text{ кг}
]
Теперь найдем максимальную массу бобра:
[
m_{\text{бобра}} = 105,1 - m_{\text{бревна}} \approx 105,1 - 84,88 \approx 20,22 \text{ кг}
]
Шаг 5: Окончательный ответ
Округляем до целых:
[
m_{\text{бобра}} \approx 20 \text{ кг}
]
Таким образом, масса бобра, который может стоять на бревне, оставаясь с сухими лапами, составляет 20 кг.
