Чтобы решить задачу, мы начнем с построения графика данной функции, которая представлена как кусочная функция:
- Функция:
- ( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 ) для ( x \geq -2 )
- ( f(x) = x + 2 ) для ( x < -2 )
Шаг 1: Построение графика
1.1 График первой части функции ( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 )
Это парабола, открытая вверх. Чтобы построить её, найдем вершину и пересечения с осью ( y ).
Вершина параболы:
Формула для ( x )-координаты вершины ( x_0 = -\frac{b}{2a} ), где ( a = 2 ), ( b = 6 ):
[
x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}
]
Значение функции в вершине:
[
f(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^2 + 6(-\frac{3}{2}) + 3 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - 9 + 3 = \frac{18 - 36 + 12}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}
]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}) ).
- Пересечение с осью ( y ):
[
f(0) = 2(0)^2 + 6(0) + 3 = 3
]
Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 3) ).
1.2 График второй части функции ( f(x) = x + 2 )
Это прямая, имеющая наклон 1 и с точкой пересечения с осью ( y ) в ( (0, 2) ). Данная прямая начинается с ( (-2, 0) ) и идет влево, потому что ( x < -2 ).
Шаг 2: Построение графика функции
Теперь нарисуем график, где:
- Для ( x \geq -2 ): парабола с вершиной ( (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}) ) и точкой пересечения с осью ( y ) в ( (0, 3) ).
- Для ( x < -2 ) - прямая, проходящая через ( (-2, 0) ).
Шаг 3: Обозначение, где прямая ( y = m ) пересечется с графиком
Мы ищем значение ( m ) (параметр прямой), при котором прямая ( y = m ) имеет ровно 2 общие точки с графиком функции.
Сначала для ( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 ):
Чтобы прямая ( y = m ) имела 2 пересечения с параболой, необходимо, чтобы дискриминант уравнения ( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 ) был больше нуля:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) > 0
]
[
36 - 8(3 - m) > 0 \implies 36 - 24 + 8m > 0 \implies 8m > -12 \implies m > -\frac{3}{2}
]
Теперь для ( f(x) = x + 2 ):
Чтобы прямая ( y = m ) имела 1 пересечение с прямой ( x + 2 ), необходимо, чтобы ( m = -2 ).
Шаг 4: Определение интервала для ( m )
Таким образом, прямая пересекает параболу в роли 2-х точек, когда ( m > -\frac{3}{2} ) и непосредственно касается прямой в точке, когда ( m = -2 ). Это означает, что для ( m = -2 ) количество пересечений уменьшится до 1.
Итак, ( m ) должно быть:
- ( m = -2 ) (один пересечение)
- ( m > -\frac{3}{2} ) (два пересечения)
Таким образом, два пересечения происходят для:
[
-2 < m < -\frac{3}{2}
]
Ответ: (-2(-\frac{3}{2};\infty))
