Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две…

Чтобы решить задачу, мы начнем с построения графика данной функции, которая представлена как кусочная функция:

1. Функция:
   • \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \)
   • \( f(x) = x + 2 \) для \( x < -2 \)

Шаг 1: Построение графика

1.1 График первой части функции \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \)

Это парабола, открытая вверх. Чтобы построить её, найдем вершину и пересечения с осью \( y \).

• Вершина параболы: Формула для \( x \)-координаты вершины \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = 6 \): \[ x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

• Значение функции в вершине: \[ f(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^2 + 6(-\frac{3}{2}) + 3 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - 9 + 3 = \frac{18 - 36 + 12}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}) \).

• Пересечение с осью \( y \): \[ f(0) = 2(0)^2 + 6(0) + 3 = 3 \] Точка пересечения с осью \( y \): \( (0, 3) \).

1.2 График второй части функции \( f(x) = x + 2 \)

Это прямая, имеющая наклон 1 и с точкой пересечения с осью \( y \) в \( (0, 2) \). Данная прямая начинается с \( (-2, 0) \) и идет влево, потому что \( x < -2 \).

Шаг 2: Построение графика функции

Теперь нарисуем график, где:

• Для \( x \geq -2 \): парабола с вершиной \( (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}) \) и точкой пересечения с осью \( y \) в \( (0, 3) \).
• Для \( x < -2 \) - прямая, проходящая через \( (-2, 0) \).

Шаг 3: Обозначение, где прямая \( y = m \) пересечется с графиком

Мы ищем значение \( m \) (параметр прямой), при котором прямая \( y = m \) имеет ровно 2 общие точки с графиком функции.

1. Сначала для \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \): Чтобы прямая \( y = m \) имела 2 пересечения с параболой, необходимо, чтобы дискриминант уравнения \( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \) был больше нуля: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) > 0 \] \[ 36 - 8(3 - m) > 0 \implies 36 - 24 + 8m > 0 \implies 8m > -12 \implies m > -\frac{3}{2} \]

2. Теперь для \( f(x) = x + 2 \): Чтобы прямая \( y = m \) имела 1 пересечение с прямой \( x + 2 \), необходимо, чтобы \( m = -2 \).

Шаг 4: Определение интервала для \( m \)

Таким образом, прямая пересекает параболу в роли 2-х точек, когда \( m > -\frac{3}{2} \) и непосредственно касается прямой в точке, когда \( m = -2 \). Это означает, что для \( m = -2 \) количество пересечений уменьшится до 1.

Итак, \( m \) должно быть:

• \( m = -2 \) (один пересечение)
• \( m > -\frac{3}{2} \) (два пересечения)

Таким образом, два пересечения происходят для:

\[ -2 < m < -\frac{3}{2} \]

Ответ: \(-2(-\frac{3}{2};\infty)\)