Найти область определения функций : 1) y=√3-8x , 2) y=3/6x²-5x+1
Чтобы найти область определения функций, необходимо определить, при каких значениях переменной \( x \) функции имеют смысл (определены). Рассмотрим обе функции по отдельности.
1) Функция \( y = \sqrt{3 - 8x} \)
Эта функция включает в себя квадратный корень. Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел (т.е. число под корнем должно быть больше или равно нулю). Таким образом, мы должны решить неравенство:
\[ 3 - 8x \geq 0 \]
Шаг 1: Решим неравенство
- Переносим \( 8x \) на другую сторону:
\[ 3 \geq 8x \]
- Делим обе стороны на 8 (неравенство не меняет направления, так как 8 положительно):
\[ \frac{3}{8} \geq x \]
или
\[ x \leq \frac{3}{8} \]
Шаг 2: Запишем область определения
Область определения функции \( y = \sqrt{3 - 8x} \) — это все \( x \), которые меньше или равны \( \frac{3}{8} \). В интервале это записывается как:
\[ (-\infty, \frac{3}{8}] \]
2) Функция \( y = \frac{3}{6x^2 - 5x + 1} \)
Эта функция – дробь. Для дробей необходимо, чтобы знаменатель был отличен от нуля. Поэтому решим уравнение:
\[ 6x^2 - 5x + 1 \neq 0 \]
Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения
Используя формулу корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 6, b = -5, c = 1 \):
- Найдем дискриминант:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \]
- Теперь находим корни:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12} \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
Шаг 2: Определим область определения
Таким образом, функция \( y = \frac{3}{6x^2 - 5x + 1} \) определена для всех \( x \) за исключением \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{1}{3} \). Записываем область определения в интервал:
\[ (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \]
Итог
- Область определения функции \( y = \sqrt{3 - 8x} \): \( (-\infty, \frac{3}{8}] \)
- Область определения функции \( y = \frac{3}{6x^2 - 5x + 1} \): \( (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \)
