Найти площадь правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 8 см.

Для нахождения площади правильного треугольника (или равностороннего треугольника), когда известен радиус описанной окружности \( R \), можно использовать следующую формулу: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 \] где \( S \) — площадь треугольника, а \( a \) — длина стороны треугольника. Сначала нужно выразить \( a \) через радиус \( R \). В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности определяется как: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Теперь выразим сторону \( a \): \[ a = R \cdot \sqrt{3} \] Подставим значение радиуса \( R = 8 \) см: \[ a = 8 \cdot \sqrt{3} \] Теперь можем подставить \( a \) в формулу для площади: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2 \] Сначала вычислим \( (8\sqrt{3})^2 \): \[ (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192 \] Теперь подставим это значение в формулу для площади: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 192 \] Упростим это выражение: \[ S = 3\sqrt{3} \cdot 48 = 144\sqrt{3} \] Таким образом, площадь правильного треугольника, описанного около окружности радиусом 8 см, равна: \[ S = 144\sqrt{3} \, \text{см}^2 \] Это и будет нашим окончательным ответом.