Найти площадь правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 8 см.

Для нахождения площади правильного треугольника (или равностороннего треугольника), когда известен радиус описанной окружности \( R \), можно использовать следующую формулу:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 \]

где \( S \) — площадь треугольника, а \( a \) — длина стороны треугольника.

Сначала нужно выразить \( a \) через радиус \( R \). В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности определяется как:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Теперь выразим сторону \( a \):

\[ a = R \cdot \sqrt{3} \]

Подставим значение радиуса \( R = 8 \) см:

\[ a = 8 \cdot \sqrt{3} \]

Теперь можем подставить \( a \) в формулу для площади:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2 \]

Сначала вычислим \( (8\sqrt{3})^2 \):

\[ (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192 \]

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 192 \]

Упростим это выражение:

\[ S = 3\sqrt{3} \cdot 48 = 144\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь правильного треугольника, описанного около окружности радиусом 8 см, равна:

\[ S = 144\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Это и будет нашим окончательным ответом.