реши

Для решения задачи найдем площадь равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB = 45\) и \(CD = 21\), где углы при основании \(AD\) образуют тангенс угла, равный \(\frac{2}{3}\).

1. Обозначения и условия:

   • Основания: \(AB = 45\), \(CD = 21\).
   • Тангенс острого угла: \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\).

2. Вспомогательные построения:

   • Проведём высоты \(AH\) и \(CK\) из точек \(A\) и \(C\) на прямую \(BD\). Эти высоты перпендикулярны основанию \(BD\) и равны между собой, так как трапеция равнобедренная.

3. Находим \(BD\):

   • \(BD\) является общей длиной всех горизонтальных отрезков между \(B\) и \(D\): \[ BD = AB - CD = 45 - 21 = 24 \]

4. Свойства равнобедренной трапеции:

   • Поскольку трапеция равнобедренная, \(BH = DK\). Значит, \(BH = DK = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12\).

5. Используем тангенс:

   • С помощью тангенса мы можем найти высоту \(h\) трапеции: \[ \tan \alpha = \frac{h}{BH} = \frac{h}{12} = \frac{2}{3} \]
   • Решим это уравнение: \[ h = 12 \times \frac{2}{3} = 8 \]

6. Найдем площадь трапеции:

   • Формула площади трапеции: \(S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h\). \[ S = \frac{1}{2} \times (45 + 21) \times 8 = \frac{1}{2} \times 66 \times 8 = 33 \times 8 = 264 \]

Ответ: площадь трапеции равна \(264\) квадратным единицам.