Решим неравенство ( 7^{2x - 9} > 7^{3x - 6} ).
Шаг 1: Логарифмическое преобразование
Поскольку основание (7) положительное и больше 1, мы можем убрать показатели, сохранив направление неравенства. Для этого приравняем выражения внутри экспонент:
[
2x - 9 > 3x - 6
]
Шаг 2: Переносим переменные и свободные члены
Давайте перенесем все члены, содержащие ( x ), в одну сторону, а свободные члены — в другую:
[
2x - 3x > -6 + 9
]
Это упростится до:
[
-x > 3
]
Шаг 3: Умножение на -1
Умножая обе стороны неравенства на -1, помним, что нужно поменять знак неравенства:
[
x < -3
]
Итог
Решением неравенства ( 7^{2x - 9} > 7^{3x - 6} ) является:
[
x < -3
]
Проверка решения
Чтобы убедиться в правильности, можно подставить значение, меньшее -3, например, ( x = -4 ):
[
7^{2(-4) - 9} = 7^{-8 - 9} = 7^{-17}
]
[
7^{3(-4) - 6} = 7^{-12 - 6} = 7^{-18}
]
Сравниваем ( 7^{-17} ) и ( 7^{-18} ): так как ( -17 > -18 ), что означает, что ( 7^{-17} > 7^{-18} ), решение верное.
Таким образом, итоговое решение заключает в себе значение:
[
x < -3
]
