В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
1. **Дано:**
- Цены акций: 100, 200, 300, 400, 500 рублей.
- Средняя цена акций до покупки последней акции — 288 рублей.
- После покупки акции за 500 рублей, средняя цена не достигла 320 рублей.
2. **Определим количество акций до последней покупки:**
- Пусть количество акций до покупки обозначим за \( n \).
- Сумма цен всех акций до покупки тогда будет равна \( S \), и мы можем выразить среднюю цену следующим образом:
\[
\text{Средняя цена} = \frac{S}{n} = 288
\]
Отсюда получается:
\[
S = 288n
\]
3. **Перечислим возможные суммы цен акций, которые могут быть равны \( S \):**
- Для всех комбинаций акций из списка (100, 200, 300, 400, 500), нужно найти такие, чтобы их сумма была равна \( S \). Это можно сделать, используя метод перебора, но для начала давайте убедимся, что сумма \( S \) не превышает 288.
4. **С учетом условия на среднюю цену после покупки:**
- Б. купил ещё одну акцию за 500 рублей, теперь у него \( n + 1 \) акций и новая сумма цен равна:
\[
S' = S + 500 = 288n + 500
\]
После покупки средняя цена акций не достигла 320 рублей, значит:
\[
\frac{S'}{n + 1} < 320
\]
Подставляем сумму:
\[
\frac{288n + 500}{n + 1} < 320
\]
5. **Умножим обе стороны на \( n + 1 \) и решим неравенство:**
\[
288n + 500 < 320(n + 1)
\]
Раскрываем скобки:
\[
288n + 500 < 320n + 320
\]
Переносим все на одну сторону:
\[
500 - 320 < 320n - 288n
\]
Отсюда:
\[
180 < 32n
\]
Делим обе стороны на 32:
\[
n > \frac{180}{32} \approx 5.625
\]
Таким образом, наименьшее целое значение \( n \) — это 6.
6. **Проверка:**
- Если у Б. было 6 акций, то сумма цен:
\[
S = 288 \cdot 6 = 1728
\]
Убедимся, что эта сумма может быть достигнута из данных цен (100, 200, 300, 400, 500 рублей). Например, возможный набор: 100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 200 = 1728 (замена одной из акций на 200).
7. **Вывод:**
- У Б. могло быть 6 акций до покупки последней акции.
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции, равно 6.
