Вариант 3 1. В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АВ и ВС равны 7 см и 9 см. Чему равна площадь квадрата со стороной, равной АС? 2. В прямоугольном треугольнике…

Давайте разберем каждую задачу по отдельности, предоставив подробные объяснения.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АВ и ВС равны 7 см и 9 см. Чему равна площадь квадрата со стороной, равной АС?

1. Сначала найдем длину гипотенузы АС по теореме Пифагора: \[ АС = \sqrt{АВ^2 + ВС^2} = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \] Приблизительно, \[ АС \approx 11,4 \text{ см} \]

2. Площадь квадрата со стороной, равной АС: \[ S = АС^2 = (\sqrt{130})^2 = 130 \text{ см}^2 \]

Ответ: 130 см²

Задача 2

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26 см и один из катетов равен 10 см. Найдите площадь этого треугольника.

1. Найдем длину второго катета по теореме Пифагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \text{ см} \]

2. Теперь найдем площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2 \]

Ответ: 120 см²

Задача 3

В равнобедренном треугольнике АВС со сторонами АВ=ВС=10 см и АС=12 см. Найдите длину высоты, проведённой из вершины B.

1. Построим высоту из точки B на сторону AC. Высота делит сторону AC пополам: \[ M - середина AC \Rightarrow AM = MC = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]

2. Используем теорему Пифагора для получения высоты BM: \[ BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Ответ: 8 см

Задача 4

В ромбе со стороной 3,5 см длина одной из диагоналей равна 4,2 см. Найдите длину другой диагонали этого ромба.

1. Площадь ромба можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

2. Площадь ромба также равна \( S = a^2 \cdot \sin(θ) \), но для ромба \( \sin(θ) = 1 \) при прямых углах, следовательно: \[ S = a^2 = (3,5)^2 = 12,25 \text{ см}^2 \]

3. Теперь подставим длину первой диагонали: \[ 12,25 = \frac{1}{2} \cdot 4,2 \cdot d_2 \Rightarrow d_2 = \frac{2 \cdot 12,25}{4,2} \] Рассчитываем: \[ d_2 \approx \frac{24,5}{4,2} \approx 5,83 \text{ см} \]

Ответ: Приблизительно 5,83 см

Задача 5

Докажите, что треугольник со сторонами 104 мм, 153 мм и 185 мм является прямоугольным.

1. Для доказательства используем теорему Пифагора. Проверим, соблюдает ли треугольник со сторонами a, b и c (где c — гипотенуза) условие: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Пусть 185 мм — гипотенуза (самая большая сторона), а 104 мм и 153 мм — катеты.

2. Проверим: \[ 185^2 = 34225 \\ 104^2 + 153^2 = 10816 + 23409 = 34225 \]

   Так как \( 185^2 = 104^2 + 153^2 \), треугольник является прямоугольным.

Ответ: Треугольник является прямоугольным.