Давайте разберем каждую задачу по отдельности, предоставив подробные объяснения.
Задача 1
В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АВ и ВС равны 7 см и 9 см. Чему равна площадь квадрата со стороной, равной АС?
Сначала найдем длину гипотенузы АС по теореме Пифагора:
[
АС = \sqrt{АВ^2 + ВС^2} = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130}
]
Приблизительно,
[
АС \approx 11,4 \text{ см}
]
Площадь квадрата со стороной, равной АС:
[
S = АС^2 = (\sqrt{130})^2 = 130 \text{ см}^2
]
Ответ: 130 см²
Задача 2
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26 см и один из катетов равен 10 см. Найдите площадь этого треугольника.
Найдем длину второго катета по теореме Пифагора:
[
b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \text{ см}
]
Теперь найдем площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2
]
Ответ: 120 см²
Задача 3
В равнобедренном треугольнике АВС со сторонами АВ=ВС=10 см и АС=12 см. Найдите длину высоты, проведённой из вершины B.
Построим высоту из точки B на сторону AC. Высота делит сторону AC пополам:
[
M - середина AC \Rightarrow AM = MC = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}
]
Используем теорему Пифагора для получения высоты BM:
[
BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}
]
Ответ: 8 см
Задача 4
В ромбе со стороной 3,5 см длина одной из диагоналей равна 4,2 см. Найдите длину другой диагонали этого ромба.
Площадь ромба можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2
]
где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей.
Площадь ромба также равна ( S = a^2 \cdot \sin(θ) ), но для ромба ( \sin(θ) = 1 ) при прямых углах, следовательно:
[
S = a^2 = (3,5)^2 = 12,25 \text{ см}^2
]
Теперь подставим длину первой диагонали:
[
12,25 = \frac{1}{2} \cdot 4,2 \cdot d_2 \Rightarrow d_2 = \frac{2 \cdot 12,25}{4,2}
]
Рассчитываем:
[
d_2 \approx \frac{24,5}{4,2} \approx 5,83 \text{ см}
]
Ответ: Приблизительно 5,83 см
Задача 5
Докажите, что треугольник со сторонами 104 мм, 153 мм и 185 мм является прямоугольным.
Для доказательства используем теорему Пифагора.
Проверим, соблюдает ли треугольник со сторонами a, b и c (где c — гипотенуза) условие:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Пусть 185 мм — гипотенуза (самая большая сторона), а 104 мм и 153 мм — катеты.
Проверим:
[
185^2 = 34225 \
104^2 + 153^2 = 10816 + 23409 = 34225
]
Так как ( 185^2 = 104^2 + 153^2 ), треугольник является прямоугольным.
Ответ: Треугольник является прямоугольным.
