3. Количество команд, которые участвовали в соревнованиях по хоккею равно 20. По правилам каждая команда сыграла с каждой. Найди количество игр, которое было проведено.

Для решения задачи о количестве хоккейных игр, проведенных 20 командами, нам нужно учесть, что каждая команда играет с каждой другой командой. Это задачу можно решить с помощью формулы комбинаторики.

Когда мы говорим, что каждая команда сыграла с каждой другой, это означает, что мы ищем количество комбинаций, где выбираем 2 команды из 20. Формула для вычисления количества комбинаций из \( n \) по \( r \) (где выбираем \( r \) объектов из \( n \)) выглядит так:

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

В нашем случае \( n = 20 \) (количество команд) и \( r = 2 \) (так как мы выбираем пары команд, которые будут играть между собой).

Таким образом, подставляем значения в формулу:

\[ C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} \]

Обратите внимание, что \( 20! = 20 \times 19 \times 18! \). Мы можем сократить \( 18! \) в числителе и знаменателе:

\[ C(20, 2) = \frac{20 \times 19 \times 18!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \times 19}{2!} \]

Теперь вычислим \( 2! \):

\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

Теперь подставляем это значение обратно в уравнение:

\[ C(20, 2) = \frac{20 \times 19}{2} = \frac{380}{2} = 190 \]

Таким образом, общее количество игр, проведенных командами, равно 190.

Ответ: 190 игр.