Проведено 1150 испытаний Бернулли. 0,4 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…

Для решения задачи мы будем использовать неравенство Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Шаг 1: Определим параметры задачи

1. Вероятность успеха (p): 0,4.

2. Общее число испытаний (n): 1150.

3. Математическое ожидание (М): \[ M = n \cdot p = 1150 \cdot 0,4 = 460 \]

4. Дисперсия (D): Используя формулу для дисперсии для испытаний Бернулли, мы имеем: \[ D = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1150 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,4) \] \[ D = 1150 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 276 \]

5. Стандартное отклонение (\(\sigma\)): \[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{276} \approx 16,613 \]

Шаг 2: Применим неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева гласит, что для любого \(\varepsilon > 0\): \[ P(|X - M| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] где \(k = \frac{\varepsilon}{\sigma}\).

В этом случае мы ищем вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60: \[ P(|X - M| < 60) = 1 - P(|X - M| \geq 60). \]

Шаг 3: Находим \(k\)

Для \(\varepsilon = 60\): \[ k = \frac{60}{\sigma} \approx \frac{60}{16,613} \approx 3,61. \]

Шаг 4: Применяем неравенство Чебышева

Теперь мы подсчитаем верхнюю границу: \[ P(|X - M| \geq 60) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(3,61)^2} \approx \frac{1}{13,0321} \approx 0,0768. \]

Шаг 5: Находим искомую вероятность

Теперь мы можем найти: \[ P(|X - M| < 60) \geq 1 - 0,0768 \approx 0,9232. \]

Ответ

Округляя до сотых, получаем вероятность: \[ P(|X - M| < 60) \approx 0,92. \]

Таким образом, вероятность того, что в проведённых 1150 испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60, составляет приблизительно 0,92 (или 92%).