Для решения задачи мы будем использовать неравенство Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Шаг 1: Определим параметры задачи
Вероятность успеха (p): 0,4.
Общее число испытаний (n): 1150.
Математическое ожидание (М):
[
M = n \cdot p = 1150 \cdot 0,4 = 460
]
Дисперсия (D):
Используя формулу для дисперсии для испытаний Бернулли, мы имеем:
[
D = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1150 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,4)
]
[
D = 1150 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 276
]
Стандартное отклонение ((\sigma)):
[
\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{276} \approx 16,613
]
Шаг 2: Применим неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева гласит, что для любого (\varepsilon > 0):
[
P(|X - M| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]
где (k = \frac{\varepsilon}{\sigma}).
В этом случае мы ищем вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60:
[
P(|X - M| < 60) = 1 - P(|X - M| \geq 60).
]
Шаг 3: Находим (k)
Для (\varepsilon = 60):
[
k = \frac{60}{\sigma} \approx \frac{60}{16,613} \approx 3,61.
]
Шаг 4: Применяем неравенство Чебышева
Теперь мы подсчитаем верхнюю границу:
[
P(|X - M| \geq 60) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(3,61)^2} \approx \frac{1}{13,0321} \approx 0,0768.
]
Шаг 5: Находим искомую вероятность
Теперь мы можем найти:
[
P(|X - M| < 60) \geq 1 - 0,0768 \approx 0,9232.
]
Ответ
Округляя до сотых, получаем вероятность:
[
P(|X - M| < 60) \approx 0,92.
]
Таким образом, вероятность того, что в проведённых 1150 испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60, составляет приблизительно 0,92 (или 92%).
