Решите систему уравнений: 1) ху+х=-4 и х-у=6
Для решения системы уравнений, состоящей из двух уравнений:
\( xy + x = -4 \)
\( x - y = 6 \)
начнем с того, что выразим одну переменную через другую во втором уравнении.
Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \)
Из второго уравнения \( x - y = 6 \) выразим \( y \):
\[ y = x - 6 \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение
Теперь подставим выражение для \( y \) в первое уравнение:
\[ x(x - 6) + x = -4 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Распределим \( x \):
\[ x^2 - 6x + x = -4 \]
Сложим подобные члены:
\[ x^2 - 5x = -4 \]
Теперь, чтобы привести уравнение к стандартному виду, добавим 4 к обеим сторонам:
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Для нашего уравнения \( a = 1, b = -5, c = 4 \):
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Шаг 5: Найдем значения для \( x \)
Теперь решим это выражение:
\( x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Таким образом, у нас есть два значения: \( x = 4 \) и \( x = 1 \).
Шаг 6: Найдем соответствующие \( y \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение \( y = x - 6 \):
- Для \( x = 4 \):
\[ y = 4 - 6 = -2 \]
- Для \( x = 1 \):
\[ y = 1 - 6 = -5 \]
Шаг 7: Запишем решения
Таким образом, мы получили две пары решений для системы уравнений:
\( (x, y) = (4, -2) \)
\( (x, y) = (1, -5) \)
Ответ
Решения системы уравнений:
\[ (4, -2) \quad \text{и} \quad (1, -5) \]
