Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим все необходимые элементы прямоугольного треугольника:
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где:
- AB — гипотенуза (равна 27 см)
- C — угол прямой, а A и B — острые углы.
- Высота из точки C (обозначим ее CN) опущена на гипотенузу AB.
Косинус угла A равен 5/9. Напомним, что косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащей стороны к длине гипотенузы.
Шаг 1: Определение длины прилежащей стороны
Косинус угла A обозначается так:
[
\cos A = \frac{AC}{AB}
]
где AC — это длина прилежащей стороны к углу A. Подставим известные значения:
[
\frac{AC}{27} = \frac{5}{9}
]
Теперь выразим AC:
[
AC = 27 \cdot \frac{5}{9} = 27 \cdot \frac{5}{9} = 15 , \text{см}
]
Шаг 2: Определим противолежащую сторону
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти сторону BC (противолежащую сторону угла A):
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
27^2 = 15^2 + BC^2
]
Посчитаем квадрат гипотенузы и прилежащей стороны:
[
729 = 225 + BC^2
]
Теперь перенесем 225 на левую часть:
[
BC^2 = 729 - 225 = 504
]
Найдем BC:
[
BC = \sqrt{504}
]
Шаг 3: Упростим корень
Корень можно упростить:
[
\sqrt{504} = \sqrt{36 \cdot 14} = 6\sqrt{14} , \text{см}
]
Шаг 4: Нахождение высоты CN
Высота CN в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:
[
CN = \frac{AC \cdot BC}{AB}
]
Подставляем известные значения:
[
CN = \frac{15 \cdot 6\sqrt{14}}{27} = \frac{90\sqrt{14}}{27} = \frac{10\sqrt{14}}{3} , \text{см}
]
Ответ
Таким образом, высота CN равна (\frac{10\sqrt{14}}{3}) см.
Если у вас есть другие вопросы или нужна дополнительная помощь, дайте знать!
