Синус острого угла а 1/9 найдите косинус, тангенс и катангенс

Давайте решим задачу, в которой задан синус острого угла \( a \) равный \( \frac{1}{9} \). Мы найдем косинус, тангенс и котангенс этого угла. ### Шаг 1: Найдем косинус угла \( a \) Существует основной тригонометрический идентификатор, который связывает синус и косинус: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим значение синуса: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] Вычислим \( \left(\frac{1}{9}\right)^2 \): \[ \frac{1}{81} + \cos^2 a = 1 \] Теперь вычтем \( \frac{1}{81} \) из обеих сторон уравнения: \[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{81} \] Приведем \( 1 \) к общему знаменателю \( 81 \): \[ \cos^2 a = \frac{81}{81} - \frac{1}{81} = \frac{80}{81} \] Теперь найдем косинус: \[ \cos a = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{\sqrt{80}}{9} \] Упростим \( \sqrt{80} \): \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \] Таким образом, косинус угла \( a \): \[ \cos a = \frac{4\sqrt{5}}{9} \] ### Шаг 2: Найдем тангенс угла \( a \) Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \] Подставим наш результат: \[ \tan a = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4\sqrt{5}}{9}} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \] Возможно, вы захотите рационализировать знаменатель: \[ \tan a = \frac{1}{4\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{20} \] ### Шаг 3: Найдем котангенс угла \( a \) Котангенс угла определяется как обратное значение тангенса: \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{20}} = \frac{20}{\sqrt{5}} \] Рационализируем знаменатель: \[ \cot a = \frac{20}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5} \] ### Итоговые результаты: - \(\sin a = \frac{1}{9}\) - \(\cos a = \frac{4\sqrt{5}}{9}\) - \(\tan a = \frac{\sqrt{5}}{20}\) - \(\cot a = 4\sqrt{5}\) Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь задавать!