синус острого угла а 1/9 найдите косинус, тангенс и катангенс
Давайте решим задачу, в которой задан синус острого угла \( a \) равный \( \frac{1}{9} \). Мы найдем косинус, тангенс и котангенс этого угла.
Шаг 1: Найдем косинус угла \( a \)
Существует основной тригонометрический идентификатор, который связывает синус и косинус:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Подставим значение синуса:
\[ \left(\frac{1}{9}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \]
Вычислим \( \left(\frac{1}{9}\right)^2 \):
\[ \frac{1}{81} + \cos^2 a = 1 \]
Теперь вычтем \( \frac{1}{81} \) из обеих сторон уравнения:
\[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{81} \]
Приведем \( 1 \) к общему знаменателю \( 81 \):
\[ \cos^2 a = \frac{81}{81} - \frac{1}{81} = \frac{80}{81} \]
Теперь найдем косинус:
\[ \cos a = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{\sqrt{80}}{9} \]
Упростим \( \sqrt{80} \):
\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \]
Таким образом, косинус угла \( a \):
\[ \cos a = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]
Шаг 2: Найдем тангенс угла \( a \)
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:
\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]
Подставим наш результат:
\[ \tan a = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4\sqrt{5}}{9}} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \]
Возможно, вы захотите рационализировать знаменатель:
\[ \tan a = \frac{1}{4\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{20} \]
Шаг 3: Найдем котангенс угла \( a \)
Котангенс угла определяется как обратное значение тангенса:
\[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{20}} = \frac{20}{\sqrt{5}} \]
Рационализируем знаменатель:
\[ \cot a = \frac{20}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5} \]
Итоговые результаты:
- \(\sin a = \frac{1}{9}\)
- \(\cos a = \frac{4\sqrt{5}}{9}\)
- \(\tan a = \frac{\sqrt{5}}{20}\)
- \(\cot a = 4\sqrt{5}\)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь задавать!
