Сделай 3

Конечно! Давайте разберём эти задачи по шагам:

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) угол \( C = 90^\circ \). Найдите \( \sin A \), если \( \cos A = \frac{4}{10} \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Подставим значение \( \cos A \): \[ \sin^2 A + \left( \frac{4}{10} \right)^2 = 1 \]

Посчитаем квадрат косинуса: \[ \frac{4}{10} = \frac{2}{5}, \quad \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} \]

Подставим и решим уравнение для \(\sin^2 A\): \[ \sin^2 A + \frac{4}{25} = 1 \]

Переносим \(\frac{4}{25}\) в правую часть: \[ \sin^2 A = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \]

Теперь найдём \(\sin A\): \[ \sin A = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \]

2. В треугольнике \( \triangle ABC \) угол \( C = 90^\circ \), \( \sin A = \frac{3}{5} \). Найдите \( AC \), если \( AB = 10 \).

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике: \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные данные: \[ \frac{3}{5} = \frac{BC}{10} \]

Теперь найдём \( BC \): \[ BC = 10 \times \frac{3}{5} = 6 \]

Теперь найдём \( AC \) с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = BC^2 + AC^2 \] \[ 10^2 = 6^2 + AC^2 \] \[ 100 = 36 + AC^2 \] \[ AC^2 = 64 \] \[ AC = \sqrt{64} = 8 \]

3. Катеты прямоугольного треугольника равны \(\sqrt{2}\) и \(2\). Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Сначала определим, какой угол наименьший. В прямоугольном треугольнике наименьшему углу соответствует наименьший катет.

Пусть наименьший угол — это при катете \(\sqrt{2}\).

Используем определение синуса: \[ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{2}}{\text{гипотенуза}} \]

Найдём гипотенузу, применяя теорему Пифагора: \[ c^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6 \] \[ c = \sqrt{6} \]

Теперь найдём \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, синус наименьшего угла равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).