Давайте подробно разберем каждую из задач, чтобы помочь вам понять, как их решать.
Задача 1: Найдите длину отрезка МН и координаты середины
Даны точки ( M(-4, 3) ) и ( N(6, -5) ).
Длина отрезка:
Длина отрезка между двумя точками ( M(x_1, y_1) ) и ( N(x_2, y_2) ) вычисляется по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставляем координаты:
[
d = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + (-5 - 3)^2}
]
[
= \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}
]
Координаты середины отрезка:
Координаты середины отрезка ( S ) между двумя точками находятся по формуле:
[
S\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Подставляем координаты:
[
S\left(\frac{-4 + 6}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = S\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = S(1, -1)
]
Ответ:
- Длина отрезка ( MN ) равна ( 2\sqrt{41} ).
- Координаты середины ( S(1, -1) ).
Задача 2: Уравнение окружности
Центр окружности в точке ( F(3, -2) ), она проходит через точку ( N(5, -9) ).
Расстояние от центра до точки:
Сначала найдем радиус ( r ):
[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
где ( (x_1, y_1) = (3, -2) ) и ( (x_2, y_2) = (5, -9) ):
[
r = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{(2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}
]
Уравнение окружности:
Уравнение окружности с центром в точке ( (h, k) ) и радиусом ( r ):
[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
]
Подставим значения:
[
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53
]
Ответ:
Уравнение окружности: ( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53 ).
Задача 3: Координаты вершины параллелограмма
Заданы точки ( A(-3, 3) ), ( B(-1, 4) ), ( D(8, 1) ). Необходимо найти координаты точки ( C ).
Для нахождения точки ( C ) воспользуемся свойством параллелограмма: ( A + C = B + D ).
Поэтому:
[
C = B + D - A
]
Сначала найдем ( B + D ):
[
B + D = (-1 + 8, 4 + 1) = (7, 5).
]
Теперь подставим ( A ):
[
C = (7, 5) - (-3, 3) = (7 + 3, 5 - 3) = (10, 2).
]
Ответ:
Координаты точки ( C ) равны ( (10, 2) ).
Задача 4: Уравнение прямой
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки ( D(3, -4) ) и ( B(5, 8) ).
Нахождение углового коэффициента ( k ):
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - (-4)}{5 - 3} = \frac{12}{2} = 6.
]
Уравнение прямой:
Используем уравнение:
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
Подставим значения:
[
y - (-4) = 6(x - 3) \implies y + 4 = 6x - 18 \implies y = 6x - 22.
]
Ответ:
Уравнение прямой: ( y = 6x - 22 ).
Задача 5: Поиск точки на оси абсцисс
Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс, равноудаленной от точек ( D(1, 10) ) и ( K(7, 8) ).
Точка на оси абсцисс имеет координаты вида ( (x, 0) ).
Сначала найдем среднее арифметическое:
Расстояние будет одинаковым:
[
\sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{(x - 7)^2 + (0 - 8)^2}.
]
Квадратируем обе стороны:
[
(x - 1)^2 + 100 = (x - 7)^2 + 64.
]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
[
x^2 - 2x + 1 + 100 = x^2 - 14x + 49 + 64.
]
[
-2x + 101 = -14x + 113 \Rightarrow 12x = 12 \Rightarrow x = 1.
]
Теперь подставим ( x ) и получим точку ( (1, 0) ).
Ответ:
Координаты точки: ( (4, 0) ).
Задача 6: Уравнение прямой, параллельной заданной
У нас есть прямая ( u = -6x - 1 ). Угловой коэффициент ( k = -6 ).
Параллельная прямая также будет иметь угловой коэффициент -6, и её уравнение будет иметь вид:
[
y = -6x + b \quad (где b - произвольное значение).
]
Что касается окружности ( x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0 ), подберем значение ( b ), чтобы прямая пересекала окружность.
Сначала найдем центр окружности. Упростим:
[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 12 \quad (центр: (2, -3), радиус = 2\sqrt{3}).
]
Теперь проверим, при каком ( b ) прямая пересечет окружность.
- Подставим уравнение:
[
(-6x + b + 3) = 12
]
Это будет зависеть от того, где стоит b относительно центра окружности, но прямая всегда параллельна с тем же наклоном ( -6 ).
Ответ:
Уравнение прямой ( y = -6x + b ).
