Контрольная работа по теме "Декартовы координаты на плоскости" Вариант 1 1. Найдите длину отрезка МН и кординаты вашей серии, если M (-4; 3) и N (6; -5). 2. Составьте уравнение…

Давайте подробно разберем каждую из задач, чтобы помочь вам понять, как их решать.

Задача 1: Найдите длину отрезка МН и координаты середины

Даны точки \( M(-4, 3) \) и \( N(6, -5) \).

Длина отрезка: Длина отрезка между двумя точками \( M(x_1, y_1) \) и \( N(x_2, y_2) \) вычисляется по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставляем координаты:

\[ d = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + (-5 - 3)^2} \] \[ = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]

Координаты середины отрезка: Координаты середины отрезка \( S \) между двумя точками находятся по формуле:

\[ S\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Подставляем координаты:

\[ S\left(\frac{-4 + 6}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = S\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = S(1, -1) \]

Ответ:

1. Длина отрезка \( MN \) равна \( 2\sqrt{41} \).
2. Координаты середины \( S(1, -1) \).

---

Задача 2: Уравнение окружности

Центр окружности в точке \( F(3, -2) \), она проходит через точку \( N(5, -9) \).

Расстояние от центра до точки: Сначала найдем радиус \( r \):

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где \( (x_1, y_1) = (3, -2) \) и \( (x_2, y_2) = (5, -9) \):

\[ r = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{(2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \]

Уравнение окружности: Уравнение окружности с центром в точке \( (h, k) \) и радиусом \( r \):

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

Подставим значения:

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53 \]

Ответ:

Уравнение окружности: \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53 \).

---

Задача 3: Координаты вершины параллелограмма

Заданы точки \( A(-3, 3) \), \( B(-1, 4) \), \( D(8, 1) \). Необходимо найти координаты точки \( C \).

Для нахождения точки \( C \) воспользуемся свойством параллелограмма: \( A + C = B + D \).

Поэтому:

\[ C = B + D - A \]

Сначала найдем \( B + D \): \[ B + D = (-1 + 8, 4 + 1) = (7, 5). \]

Теперь подставим \( A \): \[ C = (7, 5) - (-3, 3) = (7 + 3, 5 - 3) = (10, 2). \]

Ответ:

Координаты точки \( C \) равны \( (10, 2) \).

---

Задача 4: Уравнение прямой

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( D(3, -4) \) и \( B(5, 8) \).

Нахождение углового коэффициента \( k \):

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - (-4)}{5 - 3} = \frac{12}{2} = 6. \]

Уравнение прямой: Используем уравнение:

\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

Подставим значения:

\[ y - (-4) = 6(x - 3) \implies y + 4 = 6x - 18 \implies y = 6x - 22. \]

Ответ:

Уравнение прямой: \( y = 6x - 22 \).

---

Задача 5: Поиск точки на оси абсцисс

Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс, равноудаленной от точек \( D(1, 10) \) и \( K(7, 8) \).

Точка на оси абсцисс имеет координаты вида \( (x, 0) \).

Сначала найдем среднее арифметическое:

Расстояние будет одинаковым:

\[ \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{(x - 7)^2 + (0 - 8)^2}. \]

Квадратируем обе стороны:

\[ (x - 1)^2 + 100 = (x - 7)^2 + 64. \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ x^2 - 2x + 1 + 100 = x^2 - 14x + 49 + 64. \] \[ -2x + 101 = -14x + 113 \Rightarrow 12x = 12 \Rightarrow x = 1. \]

Теперь подставим \( x \) и получим точку \( (1, 0) \).

Ответ:

Координаты точки: \( (4, 0) \).

---

Задача 6: Уравнение прямой, параллельной заданной

У нас есть прямая \( u = -6x - 1 \). Угловой коэффициент \( k = -6 \).

Параллельная прямая также будет иметь угловой коэффициент -6, и её уравнение будет иметь вид:

\[ y = -6x + b \quad (где b - произвольное значение). \]

Что касается окружности \( x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0 \), подберем значение \( b \), чтобы прямая пересекала окружность.

Сначала найдем центр окружности. Упростим:

\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 12 \quad (центр: (2, -3), радиус = 2\sqrt{3}). \]

Теперь проверим, при каком \( b \) прямая пересечет окружность.

1. Подставим уравнение:

\[ (-6x + b + 3) = 12 \]

Это будет зависеть от того, где стоит b относительно центра окружности, но прямая всегда параллельна с тем же наклоном \( -6 \).

Ответ:

Уравнение прямой \( y = -6x + b \).