Реши задачи

Давайте разберем каждую задачу по очереди.

Задача 16

Центр окружности, описанной около треугольника \( ABC \), лежит на стороне \( AB \). Радиус окружности равен \( 6,5 \). Найдите \( AC \), если \( BC = 12 \).

Решение:

1. Поскольку центр окружности лежит на стороне \( AB \), то \( AB \) является диаметром этой окружности.
2. Радиус окружности \( R = 6,5 \), следовательно, диаметр \( AB = 2R = 13 \).
3. По теореме о вписанном угле в треугольнике, если угол \( C \) является прямым, то гипотенуза \( AB \) является диаметром окружности.
4. Треугольник \( ABC \) является прямоугольным, и можно применить теорему Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] Подставим известные значения: \[ AC^2 + 12^2 = 13^2 \] \[ AC^2 + 144 = 169 \] \[ AC^2 = 25 \] \[ AC = 5 \]

Ответ: \( AC = 5 \).

Задача 17

Диагональ прямоугольника образует угол \( 74^\circ \) с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под равными углами.
2. Пусть одна из диагоналей образует угол \( 74^\circ \) с одной стороной. Тогда второй угол между диагональю и другой стороной будет \( 16^\circ \) (так как сумма углов в треугольнике равна \( 90^\circ \)).
3. Таким образом, сумма острых углов между диагоналями: \[ 74^\circ + 16^\circ = 90^\circ \]
4. Угол между диагоналями равен разнице этих углов: \[ 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]

А так как это угол не может быть острым, более точная его оценка будет зависеть от того, что: 5. Если учитывать диагонали полностью, острый угол, который имеется в виду, будет составлять: \[ 2 \times 16^\circ = 32^\circ \] (поскольку обе диагонали равно удалены от прямого угла).

Ответ: \( 32^\circ \).

Задача 18

На клетчатой бумаге с размером клеток \( 1 \times 1 \) изображён прямоугольник. Найдите его периметр.

Решение:

На изображении видно, что стороны прямоугольника имеют длины, равные количеству пересечённых клеток. Вертикальная и горизонтальная стороны можно измерить, подсчитав количество клеток.

Пусть длина равна \( x \) клеткам, а ширина \( y \) клеткам.

Периметр \( P \) прямоугольника определяется по формуле: \[ P = 2x + 2y \] Учитывая изометрический просмотр, измерьте и подставьте значения.

Задача 19

Какие из следующих утверждений верны?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
3. Диагонали параллелограмма равны.
4. Центр окружности — это точка.

Анализ утверждений:

1. Утверждение 1 — верно (аксиома Евклида о параллельных прямых).
2. Утверждение 2 — верно (свойства параллельных прямых пересечённых секущей).
3. Утверждение 3 — неверно (диагонали параллелограмма равны только у прямоугольников и ромбов).
4. Утверждение 4 — верно (центром окружности является именно точка).

Ответ: Утверждения 1, 2 и 4 верны.