Решить двумя способами линейные уравнения 4x+y=2 8x+3y=5

Решим систему линейных уравнений:

\[ \begin{align*} 1) \quad 4x + y &= 2 \\ 2) \quad 8x + 3y &= 5 \end{align*} \]

Способ 1: Метод подстановки

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 2 - 4x \]

2. Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение: \[ 8x + 3(2 - 4x) = 5 \]

3. Раскроем скобки: \[ 8x + 6 - 12x = 5 \]

4. Упростим уравнение: \[ -4x + 6 = 5 \]

5. Переносим 6 в правую часть: \[ -4x = 5 - 6 \] \[ -4x = -1 \]

6. Решаем относительно \( x \): \[ x = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \]

7. Подставляем значение \( x \) в выражение для \( y \): \[ y = 2 - 4 \times \frac{1}{4} = 2 - 1 = 1 \]

Итак, решение: \( x = \frac{1}{4}, \, y = 1 \).

Способ 2: Метод сложения (линейных комбинаций)

1. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( y \) в обоих уравнениях совпадали: \[ 3(4x + y) = 3 \times 2 \] \[ 12x + 3y = 6 \]

2. Запишем преобразованную систему: \[ \begin{align*} 12x + 3y &= 6 \\ 8x + 3y &= 5 \end{align*} \]

3. Вычтем второе уравнение из первого: \[ (12x + 3y) - (8x + 3y) = 6 - 5 \] \[ 4x = 1 \]

4. Решаем относительно \( x \): \[ x = \frac{1}{4} \]

5. Подставляем найденное значение \( x \) в первое уравнение: \[ 4 \times \frac{1}{4} + y = 2 \] \[ 1 + y = 2 \] \[ y = 1 \]

Таким образом, решение совпало: \( x = \frac{1}{4}, \, y = 1 \).