На книжную полку случайным образом ставятся книги из десятитомного собрания сочинений А.П. Чехова. Найдите вероятность того, что второй и третий тома будут стоять по разные стороны от первого. Ответ округлите до тысячных.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с вероятностью расположения книг на полке. У нас есть 10 томов, и мы хотим найти вероятность того, что второй и третий тома будут стоять по разные стороны от первого тома. ### Шаг 1: Общее количество способов расстановки книг Поскольку у нас есть 10 различных книг, общее количество способов их расстановки на полке равно 10! (10 факториал): \[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800 \] ### Шаг 2: Определение благоприятных случаев Теперь нам нужно определить количество благоприятных случаев, при которых второй и третий тома находятся по разные стороны от первого. 1. **Найдем позицию первого тома.** Первый том может занимать любое из 10 мест (позиции от 1 до 10 на полке). 2. **Рассмотрим расположение второго и третьего томов.** Теперь нам нужно удостовериться, что второй и третий тома находятся по одну сторону от первого тома. - Если первый том находится на позиции 1, второй и третий могут занимать позиции с 2 по 10 (9 мест). - Если первый том находится на позиции 2, то второй и третий могут занять 3-10 (8 мест), и так далее. - Если первый том находится на позиции 10, то второй и третий могут занимать позиции с 1 по 9 (9 мест). В общем случае, если первый том находится на позиции \(k\) (где \(k\) от 1 до 10), количество возможных мест для второго и третьего томов будет определяться следующим образом: - Если \(k = 1\): 9 мест – (позиции 2-10). - Если \(k = 10\): 9 мест – (позиции 1-9). - Если \(2 \leq k \leq 9\): количество мест для второго и третьего томов = \(10 - k\) + \(k - 1 = 10 - 1 = 9\). Итак, независимо от положения первого тома, существует 9 мест для второго и третьего томов. ### Шаг 3: Размещение второго и третьего томов Теперь мы выбираем 2 позиции из 9 оставшихся для размещения второго и третьего томов. Это можно сделать \(C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = 36\) способов. ### Шаг 4: Перестановка остальных книг Оставшиеся 7 книг можно расставить на оставшихся 7 позициях, что можно сделать 7! способами. ### Шаг 5: Общее количество благоприятных случаев Таким образом, общее количество благоприятных случаев для того, чтобы второй и третий тома находились по разные стороны от первого: \[ 10 \times (36 \times 7!) = 10 \times 36 \times 5040 = 1814400 \] ### Шаг 6: Вероятность Вероятность — это количество благоприятных случаев, деленное на общее количество случаев: \[ P = \frac{1814400}{3628800} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 7: Округление Вероятность в десятичном виде равна 0.5. Округляем до тысячных: \[ \text{Вероятность} = 0.500 \] ### Ответ Вероятность того, что второй и третий тома будут стоять по разные стороны от первого, составляет 0.500.