Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км…
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
Для решения задачи начнем с обозначения скоростей бегунов.
Обозначим скорость первого бегуна как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго бегуна как \( v_2 = v_1 + 5 \) км/ч.
Шаг 1: Определим время и расстояние
Из условия задачи знаем, что:
- Один бегун проехал 1 км и остался за первый круг на 1 км.
- Второй бегун прошёл первый круг на 15 минут раньше, чем первый бегун.
- Время, через которое второй бегун завершил круг, равно 15 минут, что эквивалентно \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) часа.
Шаг 2: Расстояние первого бегуна
Первый бегун проехал 1 км, что означает, что он проехал \( D - 1 \) км, где \( D \) — длина круга. Это расстояние он успел пройти за 1 час. Таким образом, можем записать:
\[ v_1 = D - 1 \, (\text{расстояние, которое проехал 1-й бегун за 1 час}) \]
Шаг 3: Расстояние второго бегуна
Второй бегун завершил круг \( D \) за \( t = \frac{1}{4} \) часа, следовательно, его скорость можно записать как:
\[ v_2 = \frac{D}{\frac{1}{4}} = 4D \]
Шаг 4: Соотношение скоростей
Согласно условию задачи, скорости бегунов связаны следующим образом:
\[ v_2 = v_1 + 5 \]
Подставим \( v_2 \) из выражения выше:
\[ 4D = v_1 + 5 \]
Шаг 5: Подставим \( v_1 \)
Согласно уравнению, \( v_1 = D - 1 \), подставляем это в уравнение:
\[ 4D = (D - 1) + 5 \] \[ 4D = D + 4 \]
Шаг 6: Найдем \( D \)
Теперь решим это уравнение:
\[ 4D - D = 4 \] \[ 3D = 4 \Rightarrow D = \frac{4}{3} \text{ км} \]
Шаг 7: Найдите скорость первого бегуна
Теперь подставим \( D \) обратно для нахождения \( v_1 \):
\[ v_1 = D - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \text{ км/ч} \]
Шаг 8: Найдите скорость второго бегуна
А скорость второго бегуна:
\[ v_2 = v_1 + 5 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{1}{3} + \frac{15}{3} = \frac{16}{3} \text{ км/ч} \]
Ответ
Скорость первого бегуна: \( v_1 = \frac{1}{3} \) км/ч.
Скорость второго бегуна: \( v_2 = \frac{16}{3} \) км/ч.
