Для решения задачи начнем с обозначения скоростей бегунов.
Обозначим скорость первого бегуна как ( v_1 ) км/ч, а скорость второго бегуна как ( v_2 = v_1 + 5 ) км/ч.
Шаг 1: Определим время и расстояние
Из условия задачи знаем, что:
- Один бегун проехал 1 км и остался за первый круг на 1 км.
- Второй бегун прошёл первый круг на 15 минут раньше, чем первый бегун.
- Время, через которое второй бегун завершил круг, равно 15 минут, что эквивалентно ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) часа.
Шаг 2: Расстояние первого бегуна
Первый бегун проехал 1 км, что означает, что он проехал ( D - 1 ) км, где ( D ) — длина круга. Это расстояние он успел пройти за 1 час. Таким образом, можем записать:
[
v_1 = D - 1 , (\text{расстояние, которое проехал 1-й бегун за 1 час})
]
Шаг 3: Расстояние второго бегуна
Второй бегун завершил круг ( D ) за ( t = \frac{1}{4} ) часа, следовательно, его скорость можно записать как:
[
v_2 = \frac{D}{\frac{1}{4}} = 4D
]
Шаг 4: Соотношение скоростей
Согласно условию задачи, скорости бегунов связаны следующим образом:
[
v_2 = v_1 + 5
]
Подставим ( v_2 ) из выражения выше:
[
4D = v_1 + 5
]
Шаг 5: Подставим ( v_1 )
Согласно уравнению, ( v_1 = D - 1 ), подставляем это в уравнение:
[
4D = (D - 1) + 5
]
[
4D = D + 4
]
Шаг 6: Найдем ( D )
Теперь решим это уравнение:
[
4D - D = 4
]
[
3D = 4 \Rightarrow D = \frac{4}{3} \text{ км}
]
Шаг 7: Найдите скорость первого бегуна
Теперь подставим ( D ) обратно для нахождения ( v_1 ):
[
v_1 = D - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \text{ км/ч}
]
Шаг 8: Найдите скорость второго бегуна
А скорость второго бегуна:
[
v_2 = v_1 + 5 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{1}{3} + \frac{15}{3} = \frac{16}{3} \text{ км/ч}
]
Ответ
Скорость первого бегуна: ( v_1 = \frac{1}{3} ) км/ч.
Скорость второго бегуна: ( v_2 = \frac{16}{3} ) км/ч.
