Вариант 1 1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 64 дм2. 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°. 4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

Давайте решим все предложенные задачи по порядку. ### Задача 1: Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. 1. Обозначим радиус окружности как \( R \). 2. Периметр правильного треугольника \( P = 3a \), где \( a \) — сторона треугольника. Дано \( P = 45 \) см, значит: \[ 3a = 45 \implies a = 15 \text{ см} \] 3. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом окружности по формуле: \[ a = R \cdot \sqrt{3} \] Подставим значение стороны \( a \): \[ 15 = R \cdot \sqrt{3} \implies R = \frac{15}{\sqrt{3}} \implies R = 5\sqrt{3} \text{ см} \] 4. Теперь находим сторону правильного восьмиугольника \( b \) с помощью формулы для стороны восьмиугольника в окружности радиуса \( R \): \[ b = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \] Подставим \( R = 5\sqrt{3} \): \[ b = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \implies b \approx 5\cdot1.732 \cdot 0.765 = 6.621 \text{ см (примерно)} \] ### Задача 2: Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 64 дм². 1. Площадь квадрата \( S_q = a^2 \), где \( a \) — сторона квадрата. Дано \( S_q = 64 \) дм²: \[ a^2 = 64 \implies a = 8 \text{ дм} \] 2. Радиус описанной окружности квадрата равен половине длины диагонали квадрата: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм} \] 3. Теперь находим площадь круга \( S_k \): \[ S_k = \pi R^2 = \pi (4\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 32 = 32\pi \text{ дм}^2 \] ### Задача 3: Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°. 1. Формула для длины дуги: \[ L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi R \] где \( \theta = 150° \) и \( R = 3 \) см. Подставим значения: \[ L = \frac{150}{360} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{5}{12} \cdot 6\pi = \frac{30\pi}{12} = \frac{5\pi}{2} \text{ см} \] ### Задача 4: Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм. 1. Радиус описанной окружности \( R_{\text{опис}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \), где \( a \) — сторона квадрата. Дано \( R_{\text{опис}} = 2 \): \[ 2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} \implies a\sqrt{2} = 4 \implies a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ дм} \] 2. Радиус вписанной окружности \( R_{\text{впис}} = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ дм} \) ### Ответы: 1. Сторона восьмиугольника ≈ 6.621 см. 2. Площадь круга ≈ 32π дм². 3. Длина дуги окружности ≈ \( \frac{5\pi}{2} \) см. 4. Радиус вписанной окружности ≈ \( \sqrt{2} \) дм.