Вариант 1 1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите…

Давайте решим все предложенные задачи по порядку.

Задача 1:

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

1. Обозначим радиус окружности как \( R \).

2. Периметр правильного треугольника \( P = 3a \), где \( a \) — сторона треугольника. Дано \( P = 45 \) см, значит: \[ 3a = 45 \implies a = 15 \text{ см} \]

3. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом окружности по формуле: \[ a = R \cdot \sqrt{3} \] Подставим значение стороны \( a \): \[ 15 = R \cdot \sqrt{3} \implies R = \frac{15}{\sqrt{3}} \implies R = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

4. Теперь находим сторону правильного восьмиугольника \( b \) с помощью формулы для стороны восьмиугольника в окружности радиуса \( R \): \[ b = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \] Подставим \( R = 5\sqrt{3} \): \[ b = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \implies b \approx 5\cdot1.732 \cdot 0.765 = 6.621 \text{ см (примерно)} \]

Задача 2:

Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 64 дм².

1. Площадь квадрата \( S_q = a^2 \), где \( a \) — сторона квадрата. Дано \( S_q = 64 \) дм²: \[ a^2 = 64 \implies a = 8 \text{ дм} \]

2. Радиус описанной окружности квадрата равен половине длины диагонали квадрата: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм} \]

3. Теперь находим площадь круга \( S_k \): \[ S_k = \pi R^2 = \pi (4\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 32 = 32\pi \text{ дм}^2 \]

Задача 3:

Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°.

1. Формула для длины дуги: \[ L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi R \] где \( \theta = 150° \) и \( R = 3 \) см. Подставим значения: \[ L = \frac{150}{360} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{5}{12} \cdot 6\pi = \frac{30\pi}{12} = \frac{5\pi}{2} \text{ см} \]

Задача 4:

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

1. Радиус описанной окружности \( R_{\text{опис}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \), где \( a \) — сторона квадрата. Дано \( R_{\text{опис}} = 2 \): \[ 2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} \implies a\sqrt{2} = 4 \implies a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ дм} \]

2. Радиус вписанной окружности \( R_{\text{впис}} = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ дм} \)

Ответы:

1. Сторона восьмиугольника ≈ 6.621 см.
2. Площадь круга ≈ 32π дм².
3. Длина дуги окружности ≈ \( \frac{5\pi}{2} \) см.
4. Радиус вписанной окружности ≈ \( \sqrt{2} \) дм.