Вариант II 1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите длину окружности, если…

Давайте решим каждую из задач по очереди.

Задача 1:

Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1. Находим сторону шестиугольника.

   • Периметр правильного шестиугольника \( P \) равен \( 6a \), где \( a \) — длина стороны шестиугольника.
   • У нас есть \( P = 48 \) м, следовательно: \[ 6a = 48 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{48}{6} = 8 \text{ м} \]

2. Находим радиус окружности, вписанной в шестиугольник.

   • В правильном шестиугольнике радиус окружности \( R \) равен длине стороны, то есть \( R = a = 8 \) м.

3. Находим сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

   • Сторона квадрата \( b \), вписанного в окружность радиуса \( R \), равна \( b = R \cdot \sqrt{2} \): \[ b = 8 \cdot \sqrt{2} \approx 11.31 \text{ м} \]

Ответ: Сторона квадрата примерно равна 11.31 м.

Задача 2:

Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна \( 72 \sqrt{3} \) см².

1. Находим сторону шестиугольника.

   • Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]
   • Заменим площадь на \( 72 \sqrt{3} \): \[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 72 \sqrt{3} \]
   • Упростим уравнение: \[ \frac{3}{2} a^2 = 72 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{72 \cdot 2}{3} = 48 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Находим радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника.

   • Радиус \( R \) равен стороне \( a \): \[ R = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Находим длину окружности.

   • Длина окружности рассчитывается по формуле: \[ L = 2\pi R = 2\pi (4\sqrt{3}) = 8\pi\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: Длина окружности равна \( 8\pi\sqrt{3} \) см.

Задача 3:

Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга равен 12 см.

1. Находим площадь кругового сектора.
   • Площадь сектора \( S \) рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi R^2 \]
   • Здесь \( \theta = 120° \), \( R = 12 \) см: \[ S = \frac{120}{360} \cdot \pi (12^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 144 = 48\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь кругового сектора равна \( 48\pi \) см².

Задача 4:

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

1. Радиус описанной окружности квадрата.

   • Радиус \( R \) описанной окружности квадрата связан с его стороной \( a \) следующим образом: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
   • У нас есть \( R = 2 \) дм, следовательно: \[ 2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad a\sqrt{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ дм} \]

2. Находим радиус вписанной окружности.

   • Радиус \( r \) вписанной окружности равен половине стороны квадрата: \[ r = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ дм} \]

Ответ: Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен \( \sqrt{2} \) дм.