Для решения квадратного уравнения ( \frac{5}{4}x^2 + 7x + 9 = 0 ) сначала преобразуем его в более удобный вид. Уравнение уже имеет стандартную форму ( ax^2 + bx + c = 0 ), где:
- ( a = \frac{5}{4} )
- ( b = 7 )
- ( c = 9 )
Шаг 1: Найдём дискриминант
Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим значения:
[
D = 7^2 - 4 \cdot \frac{5}{4} \cdot 9
]
[
D = 49 - 4 \cdot \frac{5}{4} \cdot 9 = 49 - 5 \cdot 9
]
[
D = 49 - 45 = 4
]
Шаг 2: Найдём корни уравнения
Корни уравнения находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения в формулу:
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot \frac{5}{4}}
]
[
x = \frac{-7 \pm 2}{\frac{10}{4}} = \frac{-7 \pm 2}{2.5}
]
Теперь рассматриваем два случая:
Случай 1: ( x_1 = \frac{-7 + 2}{2.5} )
[
x_1 = \frac{-5}{2.5} = -2
]
Случай 2: ( x_2 = \frac{-7 - 2}{2.5} )
[
x_2 = \frac{-9}{2.5} = -3.6
]
Ответ
Корни уравнения:
[
x_1 = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = -3.6
]
Таким образом, у нас получились два корня ( x = -2 ) и ( x = -3.6 ).
